Математические модели спектральной теории диэлектрических волноводов. Карчевский Е.М. - 44 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

44 Глава 2. Волноводы с постоянным показателем преломления
Обозначим множества
D =
n
β ∈ Λ
(1)
0
: Reβ = 0
o
∪
n
β ∈ R
(1)
0
: |β| < kn
∞
o
,
C
(1)
0
=
n
β ∈ Λ
(1)
0
: Reβ 6= 0
o
\ R
(1)
0
,
B =
n
β ∈ R
(1)
0
: |β| > kn
+
o
.
Определение 2.5. Ненулевую функцию u ∈ U будем называть
собственной функцией задачи (2.2) – (2.5), отвечающей собственному
значению β ∈ Λ, если выполнены условия (2.2) – (2.5).
Теорема 2.3. На Λ
(1)
0
собственные значения задачи (2.2) – (2.5)
могут лежать лишь в области G.
Доказательство. Множество Λ
(1)
0
является объединением че-
тырех множеств:
Λ
(1)
0
= C
(1)
0
∪ D ∪ G ∪ B.
Докажем, что множества C
(1)
0
, D и B не содержат собственных зна-
чений задачи (2.2) – (2.5).
Предположим, что u — собственная функция задачи (2.2) – (2.5),
отвечающая собственному значению β ∈ D. Применим в областях Ω
и Ω
R
\
Ω, R ≥ R
0
к функциям u и u (здесь u означает функцию
комплексно-сопряженную с u) формулу Грина. Получим равенства
Z
Ω
(u∆u − u∆u)dx =
Z
Γ
µ
u
−
∂
u
−
∂ν
−
u
−
∂u
−
∂ν
dl,
Z
Ω
R
\Ω
(u∆u − u∆u)dx = −
Z
Γ
µ
u
+
∂
u
+
∂ν
−
u
+
∂u
+
∂ν
dl+
+
Z
Γ
R
µ
u
∂
u
∂r
−
u
∂u
∂r
dl.
При β ∈ D коэффициенты в уравнениях Гельмгольца (2.2), (2.3) — по-
ложительные вещественные числа, следовательно, левые части в двух
последних равенствах обращаются в нуль. Сложим левые и правые
части этих равенств и используем условия сопряжения (2.4). Получим
Z
Γ
R
µ
u
∂
u
∂r
−
u
∂u
∂r
dl = 0, R ≥ R
0
.
44                  Глава 2. Волноводы с постоянным показателем преломления


Обозначим множества
           n                o n                 o
                  (1)                  (1)
       D = β ∈ Λ0 : Reβ = 0 ∪ β ∈ R0 : |β| < kn∞ ,
                      n               o
                (1)       (1)               (1)
              C0 = β ∈ Λ0 : Reβ 6= 0 \ R0 ,
                       n                  o
                            (1)
                  B = β ∈ R0 : |β| > kn+ .
    Определение 2.5. Ненулевую функцию u ∈ U будем называть
собственной функцией задачи (2.2) – (2.5), отвечающей собственному
значению β ∈ Λ, если выполнены условия (2.2) – (2.5).
                           (1)
   Теорема 2.3. На Λ0 собственные значения задачи (2.2) – (2.5)
могут лежать лишь в области G.
                                                 (1)
   Доказательство. Множество Λ0 является объединением че-
тырех множеств:
                  (1)  (1)
                Λ0 = C0 ∪ D ∪ G ∪ B.
                                 (1)
Докажем, что множества C0 , D и B не содержат собственных зна-
чений задачи (2.2) – (2.5).
   Предположим, что u — собственная функция задачи (2.2) – (2.5),
отвечающая собственному значению β ∈ D. Применим в областях Ω
и ΩR \ Ω, R ≥ R0 к функциям u и u (здесь u означает функцию
комплексно-сопряженную с u) формулу Грина. Получим равенства
          Z                  Z µ       −         −
                                                   ¶
                                    ∂u        ∂u
             (u∆u − u∆u)dx =     u−      − u−       dl,
                                     ∂ν        ∂ν
             Ω                           Γ
         Z                         Z µ       +         +
                                                         ¶
                                        + ∂u      + ∂u
                 (u∆u − u∆u)dx = −    u        −u          dl+
                                           ∂ν        ∂ν
       ΩR \Ω                                 Γ
                               Z µ                ¶
                                         ∂u    ∂u
                           +           u    −u     dl.
                                         ∂r    ∂r
                            ΓR

При β ∈ D коэффициенты в уравнениях Гельмгольца (2.2), (2.3) — по-
ложительные вещественные числа, следовательно, левые части в двух
последних равенствах обращаются в нуль. Сложим левые и правые
части этих равенств и используем условия сопряжения (2.4). Получим
                 Z µ             ¶
                       ∂u    ∂u
                     u    −u       dl = 0, R ≥ R0 .
                       ∂r     ∂r
                    ΓR

Страницы