Математические модели спектральной теории диэлектрических волноводов. Карчевский Е.М. - 42 стр.

42                 Глава 2. Волноводы с постоянным показателем преломления


     1. Дать корректное и наиболее общее определение ее решения.
     2. Эквивалентным образом (например, используя технику инте-
        гральных уравнений) свести ее к задаче для некоторой оператор-
        функции.
     3. Исследовать такие свойства этой оператор-функции, как го-
        ломорфность по спектральному параметру, непрерывность как
        функции спектрального и неспектральных параметров, фред-
        гольмовость при фиксированных значениях параметров.
     4. Доказать, что для всех допустимых значений неспектральных
        параметров регулярное множество этой оператор-функции не пу-
        сто. Для этого нужно исследовать локализацию собственных зна-
        чений исходной спектральной задачи и воспользоваться эквива-
        лентностью этой задачи и задачи для оператор-функции.

               § 2. Скалярная задача в приближении
                     слабонаправляющего волновода

    1. Постановка задачи и локализация собственных значе-
ний. Сформулируем задачу о собственных волнах цилиндрического
диэлектрического волновода с произвольным контуром поперечного
сечения и постоянным показателем преломления, близким к показа-
телю преломления окружающей среды. Пусть область поперечного
сечения волновода Ω ограничена дважды непрерывно дифференци-
руемым контуром Γ. Показатель преломления n является кусочно-
постоянной функцией, а именно, в области Ω равен константе n+ , а
в области Ω∞ = R2 \ Ω — константе n∞ , 0 < n∞ < n+ . Будем счи-
тать, что постоянная распространения β — неизвестный комплексный
параметр, ω > 0 — заданная частота электромагнитных колебаний.
В скалярном приближении слабонаправляющего волновода (см. § 5
главы 1) задача сводится к отысканию таких значений параметра β,
при которых существуют нетривиальные решения уравнений Гельм-
гольца
                      ∆u + χ2+ u = 0, x ∈ Ω,                 (2.2)
                        ∆u + χ2∞ u = 0,   x ∈ Ω∞ ,                   (2.3)
удовлетворяющие условиям сопряжения
                 +    −    ∂u+   ∂u−
                u =u ,         =     ,          x ∈ Γ.               (2.4)
                            ∂ν    ∂ν