Математические модели спектральной теории диэлектрических волноводов. Карчевский Е.М. - 40 стр.

                             Глава 2
      ЗАДАЧИ О СОБСТВЕННЫХ ВОЛНАХ
        ВОЛНОВОДОВ С ПОСТОЯННЫМ
        ПОКАЗАТЕЛЕМ ПРЕЛОМЛЕНИЯ


  § 1. Элементы спектральной теории оператор-функций

     Дадим ряд определений и сформулируем необходимые нам ре-
зультаты спектральной теории оператор-функций, изложенные в [9],
[51]. Пусть Λ — открытая связная область комплексной плоскости β.
Оператор-функцией на банаховом пространстве U называется функ-
ция A(β), значениями которой являются линейные ограниченные опе-
раторы, действующие из банахова пространства U в банахово про-
странство V , определенные при каждом β ∈ Λ.
     Оператор-функция A(β) называется голоморфной в точке β0 ∈ Λ,
если существует такое p > 0, что при любом β, |β − β0 | < p, опера-
тор A(β) допускает разложение в сходящийся по норме операторов
ряд
                                  ∞
                                  X
                  A(β) = A(β0 ) +   (β − β0 )m Am .
                                 m=1

    Обозначим ρ(A) = {β : β ∈ Λ, ∃A(β)−1 : V → U } множество
регулярных точек оператора A(β), σ(A) = Λ \ ρ(A) — множество
сингулярных точек оператора A(β) (это множество называют также
характеристическим).
    Линейный оператор A называется фредгольмовым, если он нор-
мально разрешим и его индекс равен нулю, в частности, если он пред-
ставим в виде суммы двух операторов, один из которых непрерывно
обратим, а второй вполне непрерывен.
    Ненулевая функция u ∈ U называется собственной функци-
ей оператор-функции A(β), отвечающей характеристическому значе-
нию β ∈ Λ, если
                           A(β)u = 0.                          (2.1)
   Справедлива следующая теорема [9].