Математические модели спектральной теории диэлектрических волноводов. Карчевский Е.М. - 38 стр.

38                                                  Задачи и упражнения


уменьшением ω трансформируются в кривые вытекающих собствен-
ных волн. При любом k > 0 число вытекающих собственных волн
бесконечно.

                       Задачи и упражнения

     1. Проверьте справедливость формул:
                            ¡        ¢
                       divβ gradβ u = ∆u − β 2 u,
                             divβ (rotβ F) = 0,
                     divβ (uF) = udivβ F+F · gradu,
                                 ¡        ¢
                            rotβ gradβ u = 0,
              rotβ (rotβ F) = −∆F+β 2 F + gradβ (divβ F) ,
                         ∆ (divβ F) = divβ (∆F) .

    2. Напишите компьютерную программу, предназначенную для
вычисления корней уравнений (1.88). Постройте графики, изображен-
ные на рисунках 2 и 3.
    3. Напишите компьютерную программу, предназначенную для
вычисления корней уравнений (1.89). Постройте графики, изображен-
ные на рисунке 4.
    4. Задача о собственных волнах металлического волновода кру-
гового поперечного сечения [26]. Собственные волны металлическо-
го волновода распадаются на E и H-поляризованные волны. E-
волны (“электрические”) — другое название T M -волны (“поперечно-
магнитные”) — лишены продольной магнитной компоненты (H3 = 0).
H-волны (“магнитные”) — другое название T E-волны (“поперечно-
электрические”) — лишены продольной электрической компонен-
ты (E3 = 0)
    Задача о E-волнах заключается в поиске постоянных распростра-
нения β и отвечающих им нетривиальных решений u = E3 уравнения
                 £    ¡             ¢¤
                   ∆ + k 2 n2+ − β 2 u = 0, |x| < R,        (1.90)

удовлетворяющих граничному условию

                            u = 0,   |x| = R.

Задача о H-волнах заключается в поиске постоянных распростране-
ния β и отвечающих им нетривиальных решений u = H3 уравне-