Математические модели спектральной теории диэлектрических волноводов. Карчевский Е.М. - 36 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

36 Глава 1. Основные уравнения
рой принадлежит C
(1)
0
. Чем больше значение eε, тем большее количе-
ство вытекающих собственных волн преобразуются в комплексные с
уменьшением ω. Так, например, при eε > 50 таких волн уже две: EH
11
и EH
12
, и так далее [3].
2. Скалярная задача в приближении слабонаправляюще-
го волновода. Рассмотрим теперь задачу для волновода кругового
поперечного сечения радиуса R с постоянным показателем преломле-
ния n
+
, настолько мало отличающимся от показателя преломления
окружающей среды n
∞
< n
+
, что может быть применено приближе-
ние слабонаправляющего волновода. Как было показано в парагра-
фе 5, в этом случае необходимо определить функцию u = H
1
= H
2
,
удовлетворяющую внутри круга и вне его уравнениям Гельмгольца
£
∆ +
¡
k
2
n
2
+
− β
2
¢¤
u = 0, |x| < R,
£
∆ +
¡
k
2
n
2
∞
− β
2
¢¤
u = 0, |x| > R,
а на границе раздела сред условиям сопряжения
u
+
= u
−
,
∂u
+
∂r
=
∂u
−
∂r
, |x| = R.
Потребуем от функции u(x), чтобы она удовлетворяла на бесконеч-
ности парциальным условиям излучения (1.85).
Поставленная задача может быть решена методом разделения
переменных аналогично векторной задаче, рассмотренной в преды-
дущем пункте. В результате получим семейство характеристических
уравнений для определения параметров ω и β:
χ
+
J
0
l
(χ
+
R)
J
l
(χ
+
R)
= χ
∞
H
(1)
0
l
(χ
∞
R)
H
(1)
l
(χ
∞
R)
, l = 0, 1, 2, . . . (1.89)
Подробное изложение свойств различных типов собственных
волн, отвечающих различным значениям β, можно найти, например,
в книге [29]. Уравнение (1.89) имеет решения β, лежащие в области G
“физического” листа Λ
(1)
0
римановой поверхности Λ, которым отве-
чают поверхностные собственные волны и решения β, лежащие на
“нефизическом” листе Λ
(2)
0
, которым отвечают вытекающие собствен-
ные волны. Однако, как показано в [29], уравнение (1.89) в отличие
от уравнения (1.88) не имеет решений β, лежащих на “физическом”
36                                            Глава 1. Основные уравнения


                      (1)
рой принадлежит C0 . Чем больше значение εe, тем большее количе-
ство вытекающих собственных волн преобразуются в комплексные с
уменьшением ω. Так, например, при εe > 50 таких волн уже две: EH 11
и EH12 , и так далее [3].
    2. Скалярная задача в приближении слабонаправляюще-
го волновода. Рассмотрим теперь задачу для волновода кругового
поперечного сечения радиуса R с постоянным показателем преломле-
ния n+ , настолько мало отличающимся от показателя преломления
окружающей среды n∞ < n+ , что может быть применено приближе-
ние слабонаправляющего волновода. Как было показано в парагра-
фе 5, в этом случае необходимо определить функцию u = H1 = H2 ,
удовлетворяющую внутри круга и вне его уравнениям Гельмгольца
                £    ¡             ¢¤
                  ∆ + k 2 n2+ − β 2 u = 0, |x| < R,
                £    ¡             ¢¤
                  ∆ + k 2 n2∞ − β 2 u = 0, |x| > R,
а на границе раздела сред условиям сопряжения

                  +         −   ∂u+   ∂u−
                 u =u ,             =     ,   |x| = R.
                                 ∂r    ∂r
Потребуем от функции u(x), чтобы она удовлетворяла на бесконеч-
ности парциальным условиям излучения (1.85).
   Поставленная задача может быть решена методом разделения
переменных аналогично векторной задаче, рассмотренной в преды-
дущем пункте. В результате получим семейство характеристических
уравнений для определения параметров ω и β:
                                  (1)0
              Jl0 (χ+ R)     H (χ∞ R)
           χ+            = χ∞ l(1)    ,       l = 0, 1, 2, . . .   (1.89)
              Jl (χ+ R)      H (χ∞ R)
                                  l

    Подробное изложение свойств различных типов собственных
волн, отвечающих различным значениям β, можно найти, например,
в книге [29]. Уравнение (1.89) имеет решения β, лежащие в области G
                       (1)
“физического” листа Λ0 римановой поверхности Λ, которым отве-
чают поверхностные собственные волны и решения β, лежащие на
                         (2)
“нефизическом” листе Λ0 , которым отвечают вытекающие собствен-
ные волны. Однако, как показано в [29], уравнение (1.89) в отличие
от уравнения (1.88) не имеет решений β, лежащих на “физическом”

Страницы