Математические модели спектральной теории диэлектрических волноводов. Карчевский Е.М. - 41 стр.

§ 1. Элементы спектральной теории оператор-функций              41


   Теорема 2.1. Пусть выполнены следующие условия.
  1. Λ — область (открытое связное множество) в комплексной
     плоскости, A(β) — голоморфная на Λ оператор-функция.
  2. При каждом фиксированном β ∈ Λ оператор A(β) фредгольмов.
  3. Множество ρ(A) 6= ®, то есть σ(A) 6= Λ.
    Тогда множество σ(A) может состоять лишь из изоли-
рованных точек, являющихся характеристическими значениями
оператор-функции A(β).
   Пусть A(β, ω) — оператор-функция двух параметров: комплекс-
ного параметра β ∈ Λ и ω ∈ R, где R — множество вещественных
чисел. Исследование зависимости характеристических значений β от
неспектрального параметра ω может быть проведено с помощью сле-
дующей теоремы [51].
   Теорема 2.2. Пусть выполнены следующие условия.
  1. Λ — область (открытое связное множество) в комплексной
     плоскости. При каждом фиксированном ω ∈ R оператор-
     функция A(β) голоморфна по β ∈ Λ. Оператор-функция A(β, ω)
     непрерывна по (β, ω) ∈ Λ × R.
  2. При каждом фиксированном β ∈ Λ и ω ∈ R оператор A(β, ω)
     представим в виде A(β, ω) = I + B(β, ω), где I — единичный,
     а B(β, ω) — вполне непрерывный оператор.
  3. Для любого ω ∈ R множество ρ(A) 6= ®, то есть σ(A) 6= Λ.
    Тогда каждое характеристическое значение β оператор-функ-
ции A(β) непрерывно зависит от параметра ω ∈ R. Кроме то-
го, с изменением параметра ω ∈ R характеристические значения
оператор-функции A(β) могут появляться и исчезать только на
границе области Λ.
    Отметим, что эти утверждения носят локальный характер и, сле-
довательно, справедливы и в том случае, когда Λ — не область ком-
плексной плоскости, а риманова поверхность.
    Таким образом, схема применения теорем 2.1 и 2.2 к изучению
конкретной спектральной задачи может состоять из следующих эта-
пов.