Математические модели спектральной теории диэлектрических волноводов. Карчевский Е.М. - 43 стр.

§ 2. Скалярная задача в приближении слабонаправляющего волновода                           43


Здесь                 q                                   p
               χ+ =       k 2 n2+ − β 2 ,     χ∞ =             k 2 n2∞ − β 2 ,
k 2 = ω 2 ε0 µ0 ; u+ (u− ) — предельное значение функции u извне (из-
нутри) контура Γ; ∂u/∂ν — производная по нормали к контуру Γ,
внешней относительно области Ω.
    Будем предполагать, что функция u удовлетворяет на бесконеч-
ности парциальным условиям излучения (1.85), то есть при |x| ≥ R 0
представима в виде абсолютно и равномерно сходящегося ряда
                                ∞
                                X            (1)
                 u(r, ϕ) =             al Hl (χ∞ r) exp(ilϕ),                            (2.5)
                               l=−∞

                                                   (1)
где x1 = r cos(ϕ), x2 = r sin(ϕ), Hl — функции Ханкеля первого
рода порядка l.
    Будем разыскивать нетривиальные решения u(x) задачи (2.2) –
(2.5) в классе функций, непрерывных и непрерывно дифференциру-
емых в Ω и Ω∞ , дважды непрерывно дифференцируемых в Ω и Ω∞ .
Обозначим это множество функций через U .
    Будем предполагать, что постоянные распространения β принад-
лежат множеству Λ — пересечению римановых поверхностей Λ + и Λ∞
функций ln χ+ (β) и ln χ∞ (β) соответственно:

                                 Λ = Λ+ ∩ Λ∞ .                                           (2.6)

Строение поверхности Λ∞ подробно рассмотрено в главе 1 (там она
была обозначена Λ). Поверхность Λ+ устроена аналогично. Пусть
                                 (1)         (1)         (1)
                               Λ0 = Λ+0 ∩ Λ∞0

— пересечение главных (“физических”) листов этих поверхностей,
определяемых условиями
                                                                                   (1)
     −π/2 < arg χ+ (β) <3π/2,               Im (χ+ (β)) ≥ 0,             β ∈ Λ+0 ,       (2.7)
                                                                                   (1)
    −π/2 < arg χ∞ (β) <3π/2,            Im (χ∞ (β)) ≥ 0,                 β ∈ Λ∞0 .       (2.8)
                                                         (1)                     (1)
   Обозначим вещественную ось листа Λ0 символом R0 . Пусть G —
                                 (1)
объединение двух интервалов оси R0 :
                    n                       o
                          (1)
               G = β ∈ R0 : kn∞ < |β| < kn+ .