Математические модели спектральной теории диэлектрических волноводов. Карчевский Е.М. - 52 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

52 Глава 2. Волноводы с постоянным показателем преломления
Таким образом, система (2.23), (2.24) эквивалентна операторному
уравнению
A(β)w ≡ (I + B(β))w = 0, (2.25)
где
w =
³
w
(1)
, w
(2)
´
,
w
(1)
= Lp
(1)
∈ C
1,α
, w
(2)
= p
(2)
∈ C
0,α
;
вполне непрерывный оператор B, действующий в банаховом про-
странстве
W = C
1,α
× C
0,α
,
определяется при помощи равенства
Bw =
·
B
(1,1)
L
−1
B
(1,2)
B
(2,1)
L
−1
B
(2,2)
¸·
w
(1)
w
(2)
¸
. (2.26)
Символом I обозначен единичный оператор в W .
Теорема 2.4. Положим R
+
= {x ∈ R : x > 0}. При каждом
фиксированном
(β; ω, n
+
, n
∞
) ∈ Λ × R
3
+
оператор A(β; ω, n
+
, n
∞
) : W → W фредгольмов. При каждом фик-
сированном (ω, n
+
, n
∞
) ∈ R
3
+
оператор-функция A(β; ω, n
+
, n
∞
) го-
ломорфна по β ∈ Λ. Оператор-функция A(β; ω, n
+
, n
∞
) непрерывна
по (β; ω, n
+
, n
∞
) ∈ Λ × R
3
+
.
Доказательство. В силу полной непрерывности операто-
ра B(β; ω, n
+
, n
∞
) при любом (β; ω, n
+
, n
∞
) ∈ Λ × R
3
+
опера-
тор A(β; ω, n
+
, n
∞
) фредгольмов. Используя известные свойства
функций Ханкеля (см., напр., [25]), нетрудно убедиться в том, что для
каждой точки (t, τ ) ∈ [0, 2π] × [0, 2π] функции h
(i,j)
(β; ω, n
+
, n
∞
; t, τ)
аналитические по β ∈ Λ и непрерывны по (β; ω, n
+
, n
∞
) ∈ Λ × R
3
+
.
Отсюда следует (см. [13], с. 71), что при каждом фиксированном
значении (ω, n
+
, n
∞
) ∈ R
3
+
оператор-функция A(β; ω, n
+
, n
∞
) голо-
морфна по β ∈ Λ и оператор-функция A(β; ω, n
+
, n
∞
) непрерывна
по (β; ω, n
+
, n
∞
) ∈ Λ × R
3
+
. ¤
Таким образом, задача (2.25) является нелинейной спектральной
задачей для фредгольмовой голоморфной оператор-функции.
52                 Глава 2. Волноводы с постоянным показателем преломления


   Таким образом, система (2.23), (2.24) эквивалентна операторному
уравнению
                   A(β)w ≡ (I + B(β))w = 0,                  (2.25)
где                                ³                 ´
                                       (1)     (2)
                             w = w ,w                    ,

                 w(1) = Lp(1) ∈ C 1,α ,      w(2) = p(2) ∈ C 0,α ;
вполне непрерывный оператор B, действующий в банаховом про-
странстве
                      W = C 1,α × C 0,α ,
определяется при помощи равенства
                     · (1,1) −1           ¸ · (1) ¸
                       B      L   B (1,2)    w
                Bw =     (2,1) −1   (2,2)           .                   (2.26)
                       B      L   B          w(2)
Символом I обозначен единичный оператор в W .
   Теорема 2.4. Положим R+ = {x ∈ R : x > 0}. При каждом
фиксированном
                  (β; ω, n+ , n∞ ) ∈ Λ × R3+
оператор A(β; ω, n+ , n∞ ) : W → W фредгольмов. При каждом фик-
сированном (ω, n+ , n∞ ) ∈ R3+ оператор-функция A(β; ω, n+ , n∞ ) го-
ломорфна по β ∈ Λ. Оператор-функция A(β; ω, n+ , n∞ ) непрерывна
по (β; ω, n+ , n∞ ) ∈ Λ × R3+ .
    Доказательство. В силу полной непрерывности операто-
ра B(β; ω, n+ , n∞ ) при любом (β; ω, n+ , n∞ ) ∈ Λ × R3+ опера-
тор A(β; ω, n+ , n∞ ) фредгольмов. Используя известные свойства
функций Ханкеля (см., напр., [25]), нетрудно убедиться в том, что для
каждой точки (t, τ ) ∈ [0, 2π] × [0, 2π] функции h(i,j) (β; ω, n+ , n∞ ; t, τ )
аналитические по β ∈ Λ и непрерывны по (β; ω, n+ , n∞ ) ∈ Λ × R3+ .
Отсюда следует (см. [13], с. 71), что при каждом фиксированном
значении (ω, n+ , n∞ ) ∈ R3+ оператор-функция A(β; ω, n+ , n∞ ) голо-
морфна по β ∈ Λ и оператор-функция A(β; ω, n+ , n∞ ) непрерывна
по (β; ω, n+ , n∞ ) ∈ Λ × R3+ . ¤
    Таким образом, задача (2.25) является нелинейной спектральной
задачей для фредгольмовой голоморфной оператор-функции.

Страницы