Математические модели спектральной теории диэлектрических волноводов. Карчевский Е.М. - 54 стр.

54               Глава 2. Волноводы с постоянным показателем преломления


и Неймана для двумерного уравнения Гельмгольца с комплексным
коэффициентом [23]. Установленные свойства потенциала позволяют
заключить, что если при некотором значении β0 задача (2.2) – (2.5)
имеет лишь тривиальное решение, то оператор-функция A(β) не мо-
жет иметь собственной функции, отвечающей тому же самому ха-
рактеристическому значению β0 . Отсюда непосредственно вытекает
требуемый результат.
    Доказательство того, что любая собственная функция u ∈ U зада-
                                                          (1)
чи (2.2) – (2.5), отвечающая собственному значению β0 ∈ Λ0 \ D, мо-
жет быть представлена в виде потенциалов простого слоя с непрерыв-
ными по Гельдеру плотностями проводится на основе теорем един-
ственности решений внешних и внутренних задач Дирихле и Неймана
и отмеченных выше свойств потенциалов простого слоя. Из предста-
вимости собственных функций задачи (2.2) – (2.5) в виде потенциалов
простого слоя непосредственно вытекает справедливость последнего
утверждения теоремы 2.5.
    Теорема 2.6. Регулярное множество оператор-функции A(β),
                                            (1)
определенной в (2.25), не пусто, а именно, C0 ∪B ⊂ ρ(A). Характе-
ристическое множество σ(A) оператор-функции A(β) может со-
стоять лишь из изолированных точек, являющихся характеристи-
ческими значениями оператор-функции A(β). Каждое характери-
стическое значение β оператор-функции A(β) непрерывно зависит
от параметров (ω, n+ , n∞ ) ∈ R3+ . Кроме того, с изменением пара-
метров (ω, n+ , n∞ ) ∈ R3+ характеристические значения оператор-
функции A(β) могут появляться и исчезать только на границе Λ,
то есть в точках ±kn+ , ±kn∞ и на бесконечности.
    Доказательство. В силу фредгольмовости оператора A(β)
при каждом фиксированном (β; ω, n+ , n∞ ) ∈ Λ × R3+ , установленной в
теореме 2.4, теоремы 2.3 о локализации собственных значений задачи
(2.2) – (2.5) и теоремы 2.5 о связи решений задач (2.2) – (2.5) и (2.25),
оператор A(β; ω, n+ , n∞ ) обратим для любых
                                       (1)
                   (β; ω, n+ , n∞ ) ∈ (C0 ∪ B) × R3+ .

Таким образом, справедливость настоящей теоремы непосредствен-
но следует из установленных в теореме 2.4 свойств оператор-функ-
ции A(β; ω, n+ , n∞ ), теоремы И.Ц. Гохберга, М.Г. Крейна 2.1 об изоли-
рованности характеристических значений фредгольмовой голоморф-