Математические модели спектральной теории диэлектрических волноводов. Карчевский Е.М. - 59 стр.

§ 3. Векторная задача в полной электродинамической постановке      59


по частям и условие сопряжения (2.30). Получим равенство
        Z                Z                 Z
                   2             2
           |rotβ E| dx =    |∇E| dx + β  2
                                              |E|2 dx.          (2.43)
       Ω∪Ω∞                Ω∪Ω∞                Ω∪Ω∞

Объединим (2.42) и (2.43). Получим неравенство
            Z                          Z
                     2        2   2 2
                |∇E| dx + (β − k n+ )      |E|2 dx ≤ 0.         (2.44)
              Ω∪Ω∞                         Ω∪Ω∞

Для любого β ∈ B коэффициент при втором слагаемом в неравен-
стве (2.44) больше нуля, следовательно,

               E = 0,   H = 1/(iωµ0 )rotβ E = 0,    x ∈ R2 .

Это противоречит предположению о том, что вектор {E, H} является
собственным вектором задачи (2.29) – (2.32), отвечающим собствен-
ному значению β ∈ B. Таким образом, множество β ∈ B свободно от
собственных значений задачи (2.29) – (2.32). ¤
    Отметим, что доказать отсутствие собственных значений β зада-
чи (2.29) – (2.32) в области G с помощью неравенства (2.44) нельзя
в силу того, что для любого β ∈ G коэффициент при втором слагае-
мом в неравенстве (2.44) меньше нуля. Также нельзя доказать с помо-
щью этого неравенства и отсутствие собственных значений вне веще-
                      (1)
ственной оси листа Λ0 , так как формула (2.43), из которой вытекает
неравенство (2.44), справедлива лишь для вещественных β ∈ B. Ве-
щественным β ∈ G соответствуют поверхностные волны. Комплекс-
                        (1)
ным значениям β ∈ C0 отвечают комплексные собственные волны.
Теорема 2.7 обобщает результаты [18] и [3] о локализации спектра
собственных волн диэлектрического волновода кругового сечения, по-
лученные на основе анализа характеристического уравнения метода
разделения переменных (см. пункт 1 §6 главы 1).
    2. Нелинейная спектральная задача для системы сингу-
лярных интегральных уравнений по контуру поперечного
сечения волновода. Сведем теперь задачу (2.29) – (2.32) к нели-
нейной спектральной задаче для системы сингулярных интеграль-
ных уравнений по контуру поперечного сечения волновода. Пусть
вектор {E, H} ∈ U 6 является собственным вектором задачи (2.29)
– (2.32), отвечающим собственному значению β ∈ Λ. Напомним, что