Математические модели спектральной теории диэлектрических волноводов. Карчевский Е.М. - 66 стр.

66              Глава 2. Волноводы с постоянным показателем преломления


где вполне непрерывный оператор B, действующий в банаховом про-
странстве W , определяется при помощи равенства

                        B(β) = C −1 (β)B(β),

а I — единичный оператор в W .
    Обозначим R+ = {x ∈ R : x > 0}.
     Теорема 2.8. При каждом фиксированном

                      (β; ω, n+ , n∞ ) ∈ Λ × R3+

оператор A(β; ω, n+ , n∞ ) : W → W фредгольмов. При каждом фик-
сированном (ω, n+ , n∞ ) ∈ R3+ оператор-функция A(β; ω, n+ , n∞ ) го-
ломорфна по β ∈ Λ. Оператор-функция A(β; ω, n+ , n∞ ) непрерывна
по (β; ω, n+ , n∞ ) ∈ Λ × R3+ .
   Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоре-
мы 2.4, с. 52.
   Таким образом, задача (2.61) является спектральной задачей для
фредгольмовой голоморфной оператор-функции.
    Определение 2.8. Ненулевую функцию w ∈ W будем называть
собственной функцией оператор-функции A(β), отвечающей харак-
теристическому значению β ∈ Λ, если выполнено уравнение (2.61).
Характеристическим множеством оператор-функции A(β) будем на-
зывать множество чисел β ∈ Λ, для которых оператор A(β) не имеет
ограниченного обратного в W . Это множество будем обозначать сим-
волом σ(A). Обозначим множество регулярных точек оператора A(β)
через ρ(A) = {β : β ∈ Λ, ∃A(β)−1 : W → W }.
    3. Дискретность характеристического множества и зави-
симость характеристических значений от параметров. От-
носительно эквивалентности задач (2.29) – (2.32) и (2.61) справедлива
следующая теорема, доказательство которой аналогично доказатель-
ству теоремы 2.5, с. 53 (см. [16]).
    Теорема 2.9. Если w ∈ W является собственной функцией
оператор-функции A(β), отвечающей характеристическому значе-
              (1)
нию β0 ∈ Λ0 \ D, то вектор {E, H}, построенный по формулам
(2.45), (2.46), где функции u, v определяются равенствами (2.51),
(2.52), β = β0 ,
                           f+ = w(3) /|r0 |,