Математические модели спектральной теории диэлектрических волноводов. Карчевский Е.М. - 77 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

§ 1. Скалярная задача в приближении слабонаправляющего волновода 77
При фиксированном положительном β ∈ G оператор K(β) име-
ет счетное множество положительных характеристических значений.
Для минимального из них справедливо равенство (см., напр., [5],
с. 326):
γ
1
(β) = inf
f∈L
2
(Ω)
(f, f)
(K(β)f, f)
,
(3.8)
где (·, ·) скалярное произведение в L
2
(Ω). Покажем теперь, что су-
ществует такое β ∈ G, при котором γ
1
(β) = 1. В силу непрерывной
зависимости Φ
∞
(β; x, y) от β ∈ Λ функция γ
1
= γ
1
(β) непрерывна.
Из (3.8) и предельного соотношения Φ
∞
(β; x, y) → ∞ при β → kn
∞
следует, что γ
1
(β) → 0 при β → kn
∞
.
Докажем, что γ
1
(kn
+
) > 1. Пусть v ∈ L
2
(Ω) — собственная функ-
ция оператора K(β), отвечающая характеристическому значению γ
1
при фиксированном β = kn
+
. Для функции
u = γ
1
B (kn
+
)
³
p
−1/2
v
´
,
рассуждая так же, как и при доказательстве теорем 3.11, 3.12, полу-
чим равенство
Z
R
2
|∇u|
2
dx +
¡
k
2
n
2
+
− k
2
n
2
∞
¢
Z
R
2
|u|
2
dx − γ
1
Z
Ω
p |u|
2
dx = 0.
Очевидно, что при γ
1
≤ 1 функция u может быть только нулевой.
Поэтому γ
1
(kn
+
) > 1.
Обозначим через β
1
решение уравнения γ
1
(β) = 1. По теореме
Ентча (см., напр., [5], с. 329) γ
1
(β
1
) есть простое характеристиче-
ское значение, которому соответствует положительная собственная
функция v
1
. Следовательно, число β
1
является простым собственным
значением задачи (3.1), (3.2), которому отвечает положительная соб-
ственная функция u
1
= B (β
1
)
¡
p
−1/2
v
1
¢
. ¤
Отметим, что в данном случае в силу симметрии рассматривае-
мых задач по β относительно начала координат результат этой тео-
ремы остается справедливым и для отрицательного β ∈ G. Поло-
жительное значение β ∈ G и отвечающая ему собственная функ-
ция u, существование которых доказано в этой теореме, определяют
собственную волну, которая в теории волноводов носит название ос-
новной.
§ 1. Скалярная задача в приближении слабонаправляющего волновода   77


    При фиксированном положительном β ∈ G оператор K(β) име-
ет счетное множество положительных характеристических значений.
Для минимального из них справедливо равенство (см., напр., [5],
с. 326):
                                        (f, f )
                    γ1 (β) = inf                  ,        (3.8)
                            f ∈L2 (Ω) (K(β)f, f )

где (·, ·) скалярное произведение в L2 (Ω). Покажем теперь, что су-
ществует такое β ∈ G, при котором γ1 (β) = 1. В силу непрерывной
зависимости Φ∞ (β; x, y) от β ∈ Λ функция γ1 = γ1 (β) непрерывна.
Из (3.8) и предельного соотношения Φ∞ (β; x, y) → ∞ при β → kn∞
следует, что γ1 (β) → 0 при β → kn∞ .
    Докажем, что γ1 (kn+ ) > 1. Пусть v ∈ L2 (Ω) — собственная функ-
ция оператора K(β), отвечающая характеристическому значению γ 1
при фиксированном β = kn+ . Для функции
                                      ³        ´
                                         −1/2
                       u = γ1 B (kn+ ) p      v ,

рассуждая так же, как и при доказательстве теорем 3.11, 3.12, полу-
чим равенство
     Z                            Z            Z
           2     ¡ 2 2          ¢
       |∇u| dx + k n+ − k 2 n2∞        2
                                    |u| dx − γ1 p |u|2 dx = 0.
     R2                            R2             Ω

Очевидно, что при γ1 ≤ 1 функция u может быть только нулевой.
Поэтому γ1 (kn+ ) > 1.
    Обозначим через β1 решение уравнения γ1 (β) = 1. По теореме
Ентча (см., напр., [5], с. 329) γ1 (β1 ) есть простое характеристиче-
ское значение, которому соответствует положительная собственная
функция v1 . Следовательно, число β1 является простым собственным
значением задачи (3.1), (3.2), которому
                                ¡ −1/2 ¢ отвечает положительная соб-
ственная функция u1 = B (β1 ) p       v1 . ¤
    Отметим, что в данном случае в силу симметрии рассматривае-
мых задач по β относительно начала координат результат этой тео-
ремы остается справедливым и для отрицательного β ∈ G. Поло-
жительное значение β ∈ G и отвечающая ему собственная функ-
ция u, существование которых доказано в этой теореме, определяют
собственную волну, которая в теории волноводов носит название ос-
новной.

Страницы