Математические модели спектральной теории диэлектрических волноводов. Карчевский Е.М. - 79 стр.

§ 2. Векторная задача в полной электродинамической постановке         79

                      n                                o
                                (1)
                   B= β∈    : Imβ = 0, |β| > kn+ ,
                               Λ0
        n                 o n                                 o
               (1)                   (1)
    D = β ∈ Λ0 : Reβ = 0 ∪ β ∈ Λ0 : Imβ = 0, |β| < kn∞ .
                                                     £     ¤6
    Определение 3.11. Ненулевой вектор {E, H} ∈ C2 (R2 ) будем
называть собственным вектором задачи (3.9), (3.10), отвечающим соб-
ственному значению β ∈ Λ, если выполнены условия (3.9), (3.10).
    Если известен собственный вектор {E, H} задачи (3.9), (3.10), от-
вечающий собственному значению β ∈ Λ, то собственная волна вол-
новода определяется по формуле (1.2), с. 7. Следовательно, поиск
собственных волн сводится к решению нелинейной векторной спек-
тральной задачи (3.9), (3.10).
                                                                (1)
    Теорема 3.15. Области B и D главного листа Λ0 римано-
вой поверхности Λ не содержат собственных значений задачи (3.9),
(3.10).
    Доказательство. Пусть {E, H} — собственный вектор задачи
(3.9), (3.10), отвечающий собственному значению β ∈ B. Тогда имеет
место равенство (1.12), с. 9. Умножим его скалярно на H и проинте-
грируем по R2 . Мы имеем право это делать в силу условия (3.10) и
асимптотики (1.63), с. 24. В результате получим:
                   Z             Z µ       µ            ¶¶
                                              1
               k 2 |H|2 dx =          rotβ       rotβ H    · Hdx =
                                              n2
                  R2              2
                            Z µR           ¶
                                  1
                         =          rotβ H · rotβ Hdx >
                                 n2
                           R2
                  Z                            Z
             1                              1
          > 2        rotβ H · rotβ Hdx = 2        (rotβ (rotβ H)) · Hdx.
            n+                             n+
              R2                         R2

Используя равенство (1.14), формулу (1.9), с. 8 и формулу интегри-
рования по частям, продолжим оценку:
                Z              Z
              2       2      1    ¡           ¢
            k      |H| dx > 2      −∆H + β 2 H · Hdx =
                            n+
                R2             R2
                         Z              Z
                      1         2    β2
                   = 2     |∇H| dx + 2    |H|2 dx.
                     n+              n+
                          R2                  R2