Математические модели спектральной теории диэлектрических волноводов. Карчевский Е.М. - 81 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

§ 2. Векторная задача в полной электродинамической постановке 81
Из последнего равенства, условия (3.10) и ортогональности тригоно-
метрических функций для любого R ≥ R
0
получим
2πχ
∞
R
∞
X
l=−∞
Im
h
H
(2)
l
(χ
∞
R) H
(1)
0
l
(χ
∞
R)
i
|A
l
|
2
= 0.
Легко видеть, что мнимая часть выражения, стоящего в этой сумме
в квадратных скобках, не зависит от l, а именно:
Im
h
H
(2)
l
(χ
∞
R) H
(1)
0
l
(χ
∞
R)
i
=
2
πχ
∞
R
, l = 0, ±1, ±2, . . .
Следовательно, для любого x ∈ R
2
\ Ω
R
0
все коэффициенты A
l
в
разложении (3.10) функции E обращаются в нуль. А это значит,
что E = 0 при x ∈ R
2
\ Ω
R
0
. В силу гладкости показателя прелом-
ления n, функция E должна обращаться в нуль всюду в R
2
(см. [39],
с. 190). Тогда
H = 1/(iωµ
0
)rot
β
E = 0
в R
2
. Итак, значениям β ∈ D отвечает только нулевое решение за-
дачи (3.9), (3.10), что противоречит предположению о том, что век-
тор {E, H} является собственным вектором задачи (3.9), (3.10), отве-
чающим собственному значению β ∈ D. Следовательно, область D
свободна от собственных значений задачи (3.9), (3.10). ¤
2. Нелинейная спектральная задача для системы слабо-
сингулярных интегральных уравнений по области попереч-
ного сечения волновода. Для изучения качественных свойств
спектра сведем задачу (3.9), (3.10) к спектральной задаче для инте-
гральной оператор-функции. При этом мы будем использовать элек-
тромагнитные потенциалы, введенные в главе 1.
Лемма 3.2. Пусть {E, H} — собственный вектор задачи (3.9),
(3.10), отвечающий собственному значению β ∈ Λ. Тогда справед-
лива формула
E(x) = (B(β)E) (x), x ∈ R
2
, (3.11)
где
(B(β)E) (x) = k
2
Z
Ω
¡
n
2
(y) − n
2
∞
¢
Φ
∞
(β; x, y)E(y)dy+
+grad
β
Z
Ω
µ
E ·
gradn
2
n
2
(y)Φ
∞
(β; x, y)dy, (3.12)
§ 2. Векторная задача в полной электродинамической постановке                  81


Из последнего равенства, условия (3.10) и ортогональности тригоно-
метрических функций для любого R ≥ R0 получим
                X∞     h                        i
                           (2)        (1)0
        2πχ∞ R      Im Hl (χ∞ R) Hl (χ∞ R) |Al |2 = 0.
                  l=−∞

Легко видеть, что мнимая часть выражения, стоящего в этой сумме
в квадратных скобках, не зависит от l, а именно:
        h                      i       2
           (2)        (1)0
      Im Hl (χ∞ R) Hl (χ∞ R) =             , l = 0, ±1, ±2, . . .
                                    πχ∞ R
Следовательно, для любого x ∈ R2 \ ΩR0 все коэффициенты Al в
разложении (3.10) функции E обращаются в нуль. А это значит,
что E = 0 при x ∈ R2 \ ΩR0 . В силу гладкости показателя прелом-
ления n, функция E должна обращаться в нуль всюду в R2 (см. [39],
с. 190). Тогда
                     H = 1/(iωµ0 )rotβ E = 0
в R2 . Итак, значениям β ∈ D отвечает только нулевое решение за-
дачи (3.9), (3.10), что противоречит предположению о том, что век-
тор {E, H} является собственным вектором задачи (3.9), (3.10), отве-
чающим собственному значению β ∈ D. Следовательно, область D
свободна от собственных значений задачи (3.9), (3.10). ¤
   2. Нелинейная спектральная задача для системы слабо-
сингулярных интегральных уравнений по области попереч-
ного сечения волновода. Для изучения качественных свойств
спектра сведем задачу (3.9), (3.10) к спектральной задаче для инте-
гральной оператор-функции. При этом мы будем использовать элек-
тромагнитные потенциалы, введенные в главе 1.
    Лемма 3.2. Пусть {E, H} — собственный вектор задачи (3.9),
(3.10), отвечающий собственному значению β ∈ Λ. Тогда справед-
лива формула
                 E(x) = (B(β)E) (x), x ∈ R2 ,           (3.11)
где
                                 Z
                             2
                                     ¡               ¢
        (B(β)E) (x) = k                  n2 (y) − n2∞ Φ∞ (β; x, y)E(y)dy+
                         Ω
                      Z µ           ¶
                             gradn2
               +gradβ     E·          (y)Φ∞ (β; x, y)dy,                    (3.12)
                               n2
                         Ω

Страницы