Математические модели спектральной теории диэлектрических волноводов. Карчевский Е.М. - 83 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

§ 2. Векторная задача в полной электродинамической постановке 83
3. Дискретность характеристического множества и за-
висимость характеристических значений от параметров.
Сформулируем и докажем теорему о спектральной эквивалентности
задачи о собственных волнах волновода с размытой границей (3.9),
(3.10) и спектральной задачи (3.15) для оператор-функции A(β).
Теорема 3.16. Если вектор {E, H} ∈ [C
2
(R
2
)]
6
является соб-
ственным вектором задачи (3.9), (3.10), отвечающим собственно-
му значению β
0
∈ Λ, то
F = E ∈ [L
2
(Ω)]
3
есть собственный вектор оператор-функции A(β), отвечающий ха-
рактеристическому значению β
0
. Если F ∈ [L
2
(Ω)]
3
является соб-
ственным вектором оператор-функции A(β), отвечающим харак-
теристическому значению β
0
∈ Λ, и это β
0
не является собствен-
ным значением задачи (3.1), (3.2), то вектор {E, H} ∈ [C
2
(R
2
)]
6
,
где
E = B(β
0
)F, H = (iωµ
0
)
−1
rot
β
0
E,
есть собственный вектор задачи (3.9), (3.10), отвечающий соб-
ственному значению β
0
.
Доказательство. Первое утверждение теоремы непосред-
ственно следует из леммы 3.2. Докажем второе утверждение. Пусть
вектор F ∈ [L
2
(Ω)]
3
— собственный вектор оператор-функции A(β),
отвечающий характеристическому значению β ∈ Λ. Ядро интеграль-
ного оператора B(β) слабополярно при любом β ∈ Λ. Следовательно,
вектор E = B(β)F принадлежит пространству [C(Ω)]
3
(см., напр., [5],
с. 327). В силу известных свойств потенциала площади (см., напр., [5],
с. 463) вектор E принадлежит пространству [C
2
(R
2
)]
3
.
По построению вектор E удовлетворяет равенству (3.11). Приме-
ним к левой и правой частям этого равенства операцию rot
β
, учтем
формулу (1.5), с. 8, и теорему о дивергенции (3.13). Получим равен-
ство
div
β
E(x) = k
2
Z
Ω
div
β
£¡
n
2
(y) − n
2
∞
¢
E(y)
¤
Φ
∞
(β; x, y)dy+
+
¡
∆ − β
2
¢
Z
Ω
µ
E ·
gradn
2
n
2
(y)Φ
∞
(β; x, y)dy, x ∈ R
2
§ 2. Векторная задача в полной электродинамической постановке              83


    3. Дискретность характеристического множества и за-
висимость характеристических значений от параметров.
Сформулируем и докажем теорему о спектральной эквивалентности
задачи о собственных волнах волновода с размытой границей (3.9),
(3.10) и спектральной задачи (3.15) для оператор-функции A(β).
   Теорема 3.16. Если вектор {E, H} ∈ [C2 (R2 )]6 является соб-
ственным вектором задачи (3.9), (3.10), отвечающим собственно-
му значению β0 ∈ Λ, то

                               F = E ∈ [L2 (Ω)]3

есть собственный вектор оператор-функции A(β), отвечающий ха-
рактеристическому значению β0 . Если F ∈ [L2 (Ω)]3 является соб-
ственным вектором оператор-функции A(β), отвечающим харак-
теристическому значению β0 ∈ Λ, и это β0 не является собствен-
ным значением задачи (3.1), (3.2), то вектор {E, H} ∈ [C2 (R2 )]6 ,
где
               E = B(β0 )F, H = (iωµ0 )−1 rotβ0 E,
есть собственный вектор задачи (3.9), (3.10), отвечающий соб-
ственному значению β0 .
    Доказательство. Первое утверждение теоремы непосред-
ственно следует из леммы 3.2. Докажем второе утверждение. Пусть
вектор F ∈ [L2 (Ω)]3 — собственный вектор оператор-функции A(β),
отвечающий характеристическому значению β ∈ Λ. Ядро интеграль-
ного оператора B(β) слабополярно при любом β ∈ Λ. Следовательно,
вектор E = B(β)F принадлежит пространству [C(Ω)]3 (см., напр., [5],
с. 327). В силу известных свойств потенциала площади (см., напр., [5],
с. 463) вектор E принадлежит пространству [C2 (R2 )]3 .
    По построению вектор E удовлетворяет равенству (3.11). Приме-
ним к левой и правой частям этого равенства операцию rotβ , учтем
формулу (1.5), с. 8, и теорему о дивергенции (3.13). Получим равен-
ство
                      Z
                            £¡          ¢     ¤
       divβ E(x) = k 2 divβ n2 (y) − n2∞ E(y) Φ∞ (β; x, y)dy+
                         Ω
                     Z µ                 ¶
         ¡       ¢              gradn2
        + ∆ − β2             E·              (y)Φ∞ (β; x, y)dy,   x ∈ R2
                                  n2
                     Ω

Страницы