Математические модели спектральной теории диэлектрических волноводов. Карчевский Е.М. - 87 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Задачи и упражнения 87
3. С помощью формулы интегрирования по частям проверьте
справедливость следующей формулы:
div
β
Z
Ω
¡
n
2
(y) − n
2
∞
¢
Φ
∞
(β; x, y)E(y)dy =
=
Z
Ω
div
β
£¡
n
2
(y) − n
2
∞
¢
E(y)
¤
Φ
∞
(β; x, y)dy, x ∈ R
2
.
4. Плоская задача дифракции волн на цилиндрическом теле [10].
Сформулируем стационарную задачу дифракции (временная зависи-
мость полей вида exp (−iωt)) в R
2
поля электромагнитной волны на
цилиндрическом диэлектрическом теле. Обозначим область попереч-
ного сечения тела через Ω, а ее границу — через Γ. Будем считать,
что граница Γ — липшицева кривая, показатель преломления окру-
жающей среды постоянен: n = n
∞
, x ∈ Ω
∞
= R
2
\
Ω, показатель
преломления в области Ω принадлежит пространству C
1
(Ω). Пусть
на тело набегает электромагнитная волна с потенциальной функци-
ей u
0
. Необходимо найти полное E-поляризованное поле. Оно выра-
жается через функцию u = E
3
, принадлежащую множеству функций
непрерывных и непрерывно дифференцируемых в Ω и Ω
∞
, дважды
непрерывно дифференцируемых в Ω и Ω
∞
, удовлетворяющую усло-
виям
¡
∆ + k
2
n
2
∞
¢
u = −pu, x ∈ R
2
\ Γ,
u
+
= u
−
,
∂u
+
∂ν
=
∂u
−
∂ν
, x ∈ Γ,
µ
∂
∂r
− ikn
∞
u = o
µ
1
√
r
, r → ∞,
где p(y) = k
2
n
2
(y) − k
2
n
2
∞
, k
2
= ω
2
ε
0
µ
0
, ε
0
— электрическая постоян-
ная, µ
0
— магнитная постоянная.
Постройте интегральное уравнение Фредгольма второго рода по
области Ω, которому удовлетворяет функция u. Проверьте, что это-
му уравнению удовлетворяет точное решение задачи дифракции волн
на цилиндрическом теле кругового поперечного сечения, полученное
методом разделения переменных [26].
Задачи и упражнения                                                         87


   3. С помощью формулы интегрирования по частям проверьте
справедливость следующей формулы:
                  Z
                    ¡ 2         ¢
             divβ    n (y) − n2∞ Φ∞ (β; x, y)E(y)dy =
                         Ω
             Z
                        £¡               ¢    ¤
         =       divβ        n2 (y) − n2∞ E(y) Φ∞ (β; x, y)dy,   x ∈ R2 .
             Ω

    4. Плоская задача дифракции волн на цилиндрическом теле [10].
Сформулируем стационарную задачу дифракции (временная зависи-
мость полей вида exp (−iωt)) в R2 поля электромагнитной волны на
цилиндрическом диэлектрическом теле. Обозначим область попереч-
ного сечения тела через Ω, а ее границу — через Γ. Будем считать,
что граница Γ — липшицева кривая, показатель преломления окру-
жающей среды постоянен: n = n∞ , x ∈ Ω∞ = R2 \ Ω, показатель
преломления в области Ω принадлежит пространству C1 (Ω). Пусть
на тело набегает электромагнитная волна с потенциальной функци-
ей u0 . Необходимо найти полное E-поляризованное поле. Оно выра-
жается через функцию u = E3 , принадлежащую множеству функций
непрерывных и непрерывно дифференцируемых в Ω и Ω∞ , дважды
непрерывно дифференцируемых в Ω и Ω∞ , удовлетворяющую усло-
виям             ¡            ¢
                   ∆ + k 2 n2∞ u = −pu, x ∈ R2 \ Γ,
                                ∂u+   ∂u−
                        u+ = u − ,  =     , x ∈ Γ,
                                 ∂ν    ∂ν
                   µ          ¶      µ ¶
                     ∂                 1
                        − ikn∞ u = o √ , r → ∞,
                     ∂r                 r
где p(y) = k 2 n2 (y) − k 2 n2∞ , k 2 = ω 2 ε0 µ0 , ε0 — электрическая постоян-
ная, µ0 — магнитная постоянная.
    Постройте интегральное уравнение Фредгольма второго рода по
области Ω, которому удовлетворяет функция u. Проверьте, что это-
му уравнению удовлетворяет точное решение задачи дифракции волн
на цилиндрическом теле кругового поперечного сечения, полученное
методом разделения переменных [26].

Страницы