Математические модели спектральной теории диэлектрических волноводов. Карчевский Е.М. - 90 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

90 Волновод в плоско-слоистой среде
Существует несколько эквивалентных формул для определения
символа. Приведем одну из них, которая удобна для исследования
конкретных сингулярных интегральных операторов. Пусть характе-
ристика f(x, α) разлагается в ряд вида
f(x, α) =
∞
X
n=1
a
(1)
n
(x) sin(nϕ)+
∞
X
n=1
a
(2)
n
(x) cos(nϕ)
(член с n = 0 в разложении отсутствует вследствие условия (4.2)).
Определим функцию Ψ
A
(x, α) по формуле
Ψ
A
(x, α) = a(x) +
∞
X
n=1
γ
n
a
(1)
n
(x) sin(nϕ)+
∞
X
n=1
γ
n
a
(2)
n
(x) cos(nϕ), (4.5)
где γ
n
= i
n
2π/n. Если функция Ψ
A
(x, α), определенная таким обра-
зом, является непрерывной функцией своих аргументов, причем су-
ществует такая ограниченная область Ω, что Ψ
A
(x, α) не зависит от x
при x ∈ R
2
\ Ω, то Ψ
A
(x, α) — символ сингулярного оператора (4.4).
Относительно фредгольмовости сингулярного интегрального опе-
ратора (4.4) справедлива следующая теорема [44, стр. 245]. Напом-
ним, что линейный оператор называется фредгольмовым, если он
нормально разрешим и его индекс равен нулю.
Теорема 4.20. Пусть A — сингулярный интегральный опера-
тор в L
2
(R
2
) вида (4.4), а его символ определяется равенством (4.5).
Тогда для того, чтобы оператор A был фредгольмов в L
2
(R
2
), необ-
ходимо и достаточно, чтобы его символ не вырождался, то есть
inf
x∈R
2
, α∈Θ
|Ψ
A
(x, α)| > 0.
Пусть A — матричный сингулярный оператор вида
A =
A
1,1
A
1,2
··· A
1,N
A
2,1
A
2,2
··· A
2,N
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
A
N,1
A
N,2
··· A
N,N
, (4.6)
действующий в пространстве [L
2
(R
2
)]
N
, где A
l,m
– сингулярные ин-
тегральные операторы вида (4.4). Обозначим через Ψ
l,m
(x, α) символ
90                                              Волновод в плоско-слоистой среде


   Существует несколько эквивалентных формул для определения
символа. Приведем одну из них, которая удобна для исследования
конкретных сингулярных интегральных операторов. Пусть характе-
ристика f (x, α) разлагается в ряд вида
                        ∞
                        X                       ∞
                                                X
           f (x, α) =         a(1)
                               n (x) sin(nϕ)+          a(2)
                                                        n (x) cos(nϕ)
                        n=1                      n=1

(член с n = 0 в разложении отсутствует вследствие условия (4.2)).
Определим функцию ΨA (x, α) по формуле
                        ∞
                        X                          ∞
                                                   X
 ΨA (x, α) = a(x) +           γn a(1)
                                  n (x) sin(nϕ)+         γn a(2)
                                                             n (x) cos(nϕ), (4.5)
                        n=1                        n=1

где γn = in 2π/n. Если функция ΨA (x, α), определенная таким обра-
зом, является непрерывной функцией своих аргументов, причем су-
ществует такая ограниченная область Ω, что ΨA (x, α) не зависит от x
при x ∈ R2 \ Ω, то ΨA (x, α) — символ сингулярного оператора (4.4).
    Относительно фредгольмовости сингулярного интегрального опе-
ратора (4.4) справедлива следующая теорема [44, стр. 245]. Напом-
ним, что линейный оператор называется фредгольмовым, если он
нормально разрешим и его индекс равен нулю.
   Теорема 4.20. Пусть A — сингулярный интегральный опера-
тор в L2 (R2 ) вида (4.4), а его символ определяется равенством (4.5).
Тогда для того, чтобы оператор A был фредгольмов в L2 (R2 ), необ-
ходимо и достаточно, чтобы его символ не вырождался, то есть

                               inf     |ΨA (x, α)| > 0.
                          x∈R2 , α∈Θ


     Пусть A — матричный сингулярный             оператор вида
                                                      
                       A1,1 A1,2 · · ·            A1,N
                      A                          A2,N 
                      2,1 A2,2 · · ·                  
                 A =  ..      .. ...               ..  ,                  (4.6)
                      .        .                    . 
                       AN,1 AN,2 · · ·            AN,N

действующий в пространстве [L2 (R2 )]N , где Al,m – сингулярные ин-
тегральные операторы вида (4.4). Обозначим через Ψl,m (x, α) символ

Страницы