Математические модели спектральной теории диэлектрических волноводов. Карчевский Е.М. - 22 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

22 Глава 1. Основные уравнения
жащих на главном (“физическом”) листе этой поверхности, такие
условия эквивалентны либо классическому условию излучения Зо-
ммерфельда, либо условию экспоненциального затухания на беско-
нечности. Таким образом, парциальные условия, которые в отличие
от условия Зоммерфельда применимы для комплексных постоянных
распространения, можно рассматривать как обобщение этого усло-
вия. Парциальные условия можно рассматривать и как аналитиче-
ское продолжение условия Зоммерфельда по комплексному парамет-
ру (постоянной распространения) с части вещественной оси на соот-
ветствующую поверхность Римана.
Определение 1.4. Обозначим символом Ω
R
открытый круг ра-
диуса R:
Ω
R
=
©
x ∈ R
2
: |x| < R
ª
,
пусть Γ
R
— граница этого круга, а R
0
— положительная константа,
такая, что Ω ⊂ Ω
R
0
. Будем говорить, что функции E, H, являющиеся
решениями уравнения Гельмгольца (1.16), удовлетворяют парциаль-
ным условиям излучения, если эти функции для всех x ∈ R
2
\ Ω
R
0
разлагаются в ряды следующего вида:
·
E
H
¸
=
∞
X
l=−∞
·
A
l
B
l
¸
H
(1)
l
(χ
∞
r) exp (ilϕ) .
(1.56)
Здесь H
(1)
l
— функции Ханкеля первого рода индекса l (см.,
напр., [32]), через (r, ϕ) обозначены полярные координаты точки x,
χ
∞
=
p
k
2
n
2
∞
− β
2
.
Для функций E, H, являющихся решениями уравнения Гельм-
гольца (1.16), ряды (1.56) сходятся абсолютно и равномерно во всякой
области вида a ≤ r ≤ b, где a и b произвольные числа, удовлетворя-
ющие условию R
0
< a < b < ∞; кроме того, указанные ряды можно
дифференцировать почленно до любого порядка [4].
Обозначим символом Λ поверхность Римана функции ln χ
∞
(β).
Будем разыскивать комплексные постоянные распространения β ∈ Λ
собственных волн, амплитуды которых удовлетворяют парциальным
условиям излучения (1.56). Для того, чтобы более детально обсудить
эти условия на бесконечности, мы проанализируем строение поверх-
ности Римана Λ и рассмотрим различные типы собственных волн,
отвечающие постоянным распространения β, лежащим на разных ли-
стах этой поверхности.
22                                         Глава 1. Основные уравнения


жащих на главном (“физическом”) листе этой поверхности, такие
условия эквивалентны либо классическому условию излучения Зо-
ммерфельда, либо условию экспоненциального затухания на беско-
нечности. Таким образом, парциальные условия, которые в отличие
от условия Зоммерфельда применимы для комплексных постоянных
распространения, можно рассматривать как обобщение этого усло-
вия. Парциальные условия можно рассматривать и как аналитиче-
ское продолжение условия Зоммерфельда по комплексному парамет-
ру (постоянной распространения) с части вещественной оси на соот-
ветствующую поверхность Римана.
   Определение 1.4. Обозначим символом ΩR открытый круг ра-
диуса R:              ©               ª
                 ΩR = x ∈ R2 : |x| < R ,
пусть ΓR — граница этого круга, а R0 — положительная константа,
такая, что Ω ⊂ ΩR0 . Будем говорить, что функции E, H, являющиеся
решениями уравнения Гельмгольца (1.16), удовлетворяют парциаль-
ным условиям излучения, если эти функции для всех x ∈ R 2 \ ΩR0
разлагаются в ряды следующего вида:
              · ¸       ∞ ·
                        X        ¸
                E             Al    (1)
                     =             Hl (χ∞ r) exp (ilϕ) .    (1.56)
                H             Bl
                      l=−∞
         (1)
Здесь Hl       — функции Ханкеля первого рода индекса l (см.,
напр., [32]), через (r, ϕ) обозначены полярные координаты точки x,
                                 p
                            χ∞ = k 2 n2∞ − β 2 .
    Для функций E, H, являющихся решениями уравнения Гельм-
гольца (1.16), ряды (1.56) сходятся абсолютно и равномерно во всякой
области вида a ≤ r ≤ b, где a и b произвольные числа, удовлетворя-
ющие условию R0 < a < b < ∞; кроме того, указанные ряды можно
дифференцировать почленно до любого порядка [4].
    Обозначим символом Λ поверхность Римана функции ln χ∞ (β).
Будем разыскивать комплексные постоянные распространения β ∈ Λ
собственных волн, амплитуды которых удовлетворяют парциальным
условиям излучения (1.56). Для того, чтобы более детально обсудить
эти условия на бесконечности, мы проанализируем строение поверх-
ности Римана Λ и рассмотрим различные типы собственных волн,
отвечающие постоянным распространения β, лежащим на разных ли-
стах этой поверхности.

Страницы