Математические модели спектральной теории диэлектрических волноводов. Карчевский Е.М. - 24 стр.

24                                          Глава 1. Основные уравнения


   2. Поверхностные, комплексные и вытекающие волны.
                                  (1)          (1)         (2)
Обозначим вещественную ось листа Λ0 символом R0 , а листа Λ0 —
          (2)                                                (1)
символом R0 . Пусть G — объединение двух интервалов на оси R0 :
                   n                         o
                          (1)
               G = β ∈ R0 : kn∞ < |β| < kn+ .             (1.61)
            (1)
Символом C0 обозначим множество
                    n               o
               (1)        (1)           (1)
              C0 = β ∈ Λ0 : Reβ 6= 0 \ R0 .                      (1.62)
Постоянные распространения β поверхностных, комплексных и вы-
                                                   (1)   (1)       (1)
текающих волн принадлежат множествам G ⊂ Λ0 , C0 ⊂ Λ0
   (2)  (2)
и Λ0 \ R0 соответственно.
   Функции Ханкеля первого рода имеют следующую асимптотику
при −π/2 < arg χ∞ <3π/2 и r → ∞ (см., напр., [32]):
              r           · µ             ¶¸ ·         µ      ¶¸
    (1)           2                lπ π                    1
  Hl (χ∞ r) =         exp i χ∞ r −    −        1+O               .
                πχ∞ r               2   4                χ∞ r
                                                              (1.63)
Таким образом, если −π/2 < arg χ∞ <3π/2, Im(χ∞ ) 6= 0, и функции
E, H удовлетворяют парциальным условиям излучения, то эти функ-
ции удовлетворяют следующему условию на бесконечности:
              · ¸                 µ ¶
                E                  1
                   = exp (iχ∞ r) O √ , r → ∞.              (1.64)
                H                   r
Нетрудно видеть, что для поверхностных и комплексных собствен-
ных волн Im(χ∞ ) > 0. Следовательно, их амплитуды E, H экспо-
ненциально убывают на бесконечности как exp (−Im(χ∞ )r)r−1/2 . Ам-
плитуды E, H вытекающих собственных волн экспоненциально воз-
растают на бесконечности как exp (−Im(χ∞ )r)r−1/2 , потому что для
них Im(χ∞ ) < 0.
     3. Волны излучения. Обозначим символом D множество
          n                o n                  o
                (1)                (1)
       D = β ∈ Λ0 : Reβ = 0 ∪ β ∈ R0 : |β| < kn∞ .   (1.65)
Спектр волн излучения принадлежит области D, и амплитуды каж-
дой из волн излучения могут быть представлены в виде следующих
сумм [43]:
             · ¸     X∞ ·     ¸
               E           Al    (1)
                   =            Hl (χ∞ r) exp (ilϕ) +
               H           Bl
                      l=−∞