Математические модели спектральной теории диэлектрических волноводов. Карчевский Е.М. - 23 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

§ 4. Поведение амплитуд собственных волн на бесконечности 23
1. Поверхность Римана Λ. Для всех целых l функции Хан-
келя H
(1)
l
(χ
∞
(β)r) представимы в виде
H
(1)
l
(χ
∞
(β)r) = c
(1)
l
(χ
∞
(β)r) ln (χ
∞
(β)r) + R
(1)
l
(χ
∞
(β)r) , (1.57)
где c
(1)
l
(χ
∞
(β)r) и R
(1)
l
(χ
∞
(β)r) — однозначные аналитические функ-
ции комплексного аргумента β (см., напр., [32]). Будем рассматривать
функции H
(1)
l
(χ
∞
(β)r) как однозначные аналитические функции на
римановой поверхности Λ функции ln χ
∞
(β).
Поверхность Римана Λ состоит из бесконечного числа листов и
имеет две точки ветвления β = ±kn
∞
. В силу того, что функцию
χ
∞
(β) =
p
k
2
n
2
∞
− β
2
саму следует рассматривать как однозначную на двулистной поверх-
ности Римана, поверхность Λ состоит из бесконечного числа листов
римановой поверхности логарифма Λ
m
, m = 0, ±1, ..., каждый из
которых делится на два листа римановой поверхности квадратного
корня χ
∞
(β): Λ
(1)
m
и Λ
(2)
m
. Всюду далее будем предполагать, что точки
ветвления не принадлежат римановой поверхности Λ.
Обозначим символом Λ
(1)
0
главный (“физический”) лист римано-
вой поверхности Λ, который определяется следующими условиями:
−π/2 < arg χ
∞
(β) <3π/2, Im (χ
∞
(β)) ≥ 0, β ∈ Λ
(1)
0
. (1.58)
С листом Λ
(1)
0
соединяется лист Λ
(2)
0
, который называется “нефизиче-
ским” и определяется следующим образом:
−π/2 < arg χ
∞
(β) <3π/2, Im (χ
∞
(β)) < 0, β ∈ Λ
(2)
0
. (1.59)
Все другие пары листов Λ
(1),(2)
m6=0
отличаются от Λ
(1),(2)
0
сдвигом аргу-
мента arg χ
∞
(β) на 2πm и удовлетворяют условиям:
−π/2 + 2πm < arg χ
∞
(β) <3π/2 + 2πm,
Im (χ
∞
(β)) ≥ 0, β ∈ Λ
(1)
m
;
−π/2 + 2πm < arg χ
∞
(β) <3π/2 + 2πm,
Im (χ
∞
(β)) < 0, β ∈ Λ
(2)
m
.
(1.60)
Лист Λ
(2)
0
соединен с листом Λ
(1)
0
вдоль разреза, выбранным в со-
ответствии с условием Im(χ
∞
(β)) = 0 на Λ
(1)
0
, то есть проходящим по
мнимой оси и интервалу (−kn
∞
, kn
∞
) вещественной оси. Листы Λ
(2)
±1
соединяются с листом Λ
(2)
0
вдоль разреза, проходящего по веществен-
ной оси так, что |β| > kn
∞
.
§ 4. Поведение амплитуд собственных волн на бесконечности                      23


   1. Поверхность Римана Λ. Для всех целых l функции Хан-
      (1)
келя Hl (χ∞ (β)r) представимы в виде
     (1)               (1)                            (1)
   Hl (χ∞ (β)r) = cl (χ∞ (β)r) ln (χ∞ (β)r) + Rl (χ∞ (β)r) ,               (1.57)
     (1)               (1)
где cl (χ∞ (β)r) и Rl (χ∞ (β)r) — однозначные аналитические функ-
ции комплексного аргумента β (см., напр., [32]). Будем рассматривать
            (1)
функции Hl (χ∞ (β)r) как однозначные аналитические функции на
римановой поверхности Λ функции ln χ∞ (β).
    Поверхность Римана Λ состоит из бесконечного числа листов и
имеет две точки ветвления β = ±kn∞ . В силу того, что функцию
                                p
                       χ∞ (β) = k 2 n2∞ − β 2
саму следует рассматривать как однозначную на двулистной поверх-
ности Римана, поверхность Λ состоит из бесконечного числа листов
римановой поверхности логарифма Λm , m = 0, ±1, ..., каждый из
которых делится на два листа римановой поверхности квадратного
               (1)   (2)
корня χ∞ (β): Λm и Λm . Всюду далее будем предполагать, что точки
ветвления не принадлежат римановой поверхности Λ.
                          (1)
    Обозначим символом Λ0 главный (“физический”) лист римано-
вой поверхности Λ, который определяется следующими условиями:
                                                                     (1)
    −π/2 < arg χ∞ (β) <3π/2,           Im (χ∞ (β)) ≥ 0,     β ∈ Λ0 .       (1.58)
            (1)                         (2)
С листом Λ0 соединяется лист Λ0 , который называется “нефизиче-
ским” и определяется следующим образом:
                                                                     (2)
    −π/2 < arg χ∞ (β) <3π/2,           Im (χ∞ (β)) < 0,     β ∈ Λ0 .       (1.59)
                             (1),(2)                      (1),(2)
Все другие пары листов Λm6=0 отличаются от Λ0                       сдвигом аргу-
мента arg χ∞ (β) на 2πm и удовлетворяют условиям:
                  −π/2 + 2πm < arg χ∞ (β) <3π/2 + 2πm,
                                              (1)
                        Im (χ∞ (β)) ≥ 0, β ∈ Λm ;
                                                                           (1.60)
                  −π/2 + 2πm < arg χ∞ (β) <3π/2 + 2πm,
                                              (2)
                        Im (χ∞ (β)) < 0, β ∈ Λm .
           (2)                          (1)
    Лист Λ0 соединен с листом Λ0 вдоль разреза, выбранным в со-
                                         (1)
ответствии с условием Im(χ∞ (β)) = 0 на Λ0 , то есть проходящим по
                                                                (2)
мнимой оси и интервалу (−kn∞ , kn∞ ) вещественной оси. Листы Λ±1
                        (2)
соединяются с листом Λ0 вдоль разреза, проходящего по веществен-
ной оси так, что |β| > kn∞ .

Страницы