Математические модели спектральной теории диэлектрических волноводов. Карчевский Е.М. - 25 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

§ 4. Поведение амплитуд собственных волн на бесконечности 25
+
∞
X
l=−∞
·
C
l
D
l
¸
H
(2)
l
(χ
∞
r) exp (ilϕ) ,
где x ∈ R
2
\ Ω
R
0
и H
(2)
l
— функции Ханкеля второго рода индекса l
(см, напр., [32]).
Функции Ханкеля второго рода имеют следующую асимптотику
при −π/2 < arg χ
∞
<3π/2 и r → ∞ (см., напр., [32]):
H
(2)
l
(χ
∞
r) =
r
2
πχ
∞
r
exp
·
−i
µ
χ
∞
r −
lπ
2
−
π
4
¶¸·
1 + O
µ
1
χ
∞
r
¶¸
.
(1.66)
Нетрудно видеть, что для волн излучения Im(χ
∞
) = 0. Таким обра-
зом, их амплитуды удовлетворяют следующему условию на бесконеч-
ности:
·
E
H
¸
= O
µ
1
√
r
, r → ∞. (1.67)
Парциальные условия излучения (1.56) для всех функций, удо-
влетворяющих уравнению Гельмгольца (1.16) при всех β ∈ D, экви-
валентны условию излучения Зоммерфельда
µ
∂
∂r
− iχ
∞
·
E
H
¸
= o
µ
1
√
r
, r → ∞. (1.68)
Это было доказано в [4]. Там же было доказано, что условие (1.68)
является более сильным, чем условие (1.67). Следовательно, ампли-
туды волн излучения не удовлетворяют парциальным условиям из-
лучения (1.56). В дальнейшем мы докажем, что область D не может
содержать собственных значений спектральных задач о собственных
волнах, амплитуды которых удовлетворяют парциальным условиям
излучения (1.56).
4. Другие типы волн. Из хорошо известного разложения
(см., напр., [32]):
H
(1)
l
(χ
∞
exp(i2πm)r) = α
(m)
l
H
(1)
l
(χ
∞
r) +
+γ
(m)
l
H
(2)
l
(χ
∞
r) , α
(m)
l
, γ
(m)
l
6= 0,
справедливого для всех m 6= 0, l = 0, ±1, ±2, . . ., и
β ∈
[
m6=0
³
Λ
(1)
m
∪ Λ
(2)
m
´
,
§ 4. Поведение амплитуд собственных волн на бесконечности              25


                     ∞ ·
                     X      ¸
                         Cl    (2)
                   +          Hl (χ∞ r) exp (ilϕ) ,
                         Dl
                        l=−∞
                         (2)
где x ∈ R2 \ ΩR0 и Hl — функции Ханкеля второго рода индекса l
(см, напр., [32]).
    Функции Ханкеля второго рода имеют следующую асимптотику
при −π/2 < arg χ∞ <3π/2 и r → ∞ (см., напр., [32]):
                r           · µ               ¶¸ ·     µ      ¶¸
    (2)              2                 lπ   π             1
  Hl (χ∞ r) =            exp −i χ∞ r −    −        1+O            .
                   πχ∞ r                2   4            χ∞ r
                                                              (1.66)
Нетрудно видеть, что для волн излучения Im(χ∞ ) = 0. Таким обра-
зом, их амплитуды удовлетворяют следующему условию на бесконеч-
ности:             · ¸       µ ¶
                     E         1
                         = O √ , r → ∞.                    (1.67)
                     H          r
   Парциальные условия излучения (1.56) для всех функций, удо-
влетворяющих уравнению Гельмгольца (1.16) при всех β ∈ D, экви-
валентны условию излучения Зоммерфельда
             µ          ¶· ¸     µ ¶
               ∂          E        1
                  − iχ∞       = o √ , r → ∞.              (1.68)
               ∂r         H         r
Это было доказано в [4]. Там же было доказано, что условие (1.68)
является более сильным, чем условие (1.67). Следовательно, ампли-
туды волн излучения не удовлетворяют парциальным условиям из-
лучения (1.56). В дальнейшем мы докажем, что область D не может
содержать собственных значений спектральных задач о собственных
волнах, амплитуды которых удовлетворяют парциальным условиям
излучения (1.56).
    4. Другие типы волн.                  Из хорошо известного разложения
(см., напр., [32]):
                 (1)                            (m)    (1)
               Hl (χ∞ exp(i2πm)r) = αl Hl (χ∞ r) +
                         (m)     (2)          (m)     (m)
                       +γl     Hl (χ∞ r) , αl , γl          6= 0,
справедливого для всех m 6= 0, l = 0, ±1, ±2, . . ., и
                           [³                 ´
                      β∈         Λ(1)
                                  m   ∪ Λ (2)
                                          m ,
                                   m6=0

Страницы