Математические модели спектральной теории диэлектрических волноводов. Карчевский Е.М. - 27 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

§ 5. Скалярное приближение слабонаправляющего волновода 27
E
1
=
µ
0
ω
β
H
2
−
1
ωβ
∂
∂x
1
·
1
ε
µ
∂H
1
∂x
2
−
∂H
2
∂x
1
¶¸
, R
2
\ Γ, (1.70)
E
2
= −
µ
0
ω
β
H
1
−
1
ωβ
∂
∂x
2
·
1
ε
µ
∂H
1
∂x
2
−
∂H
2
∂x
1
¶¸
, R
2
\ Γ, (1.71)
H
3
=
−1
iβ
µ
∂H
1
∂x
1
+
∂H
2
∂x
2
, R
2
\ Γ, (1.72)
где ε = ε
0
n
2
— диэлектрическая проницаемость. Эти представления
легко получить из системы уравнений (1.3). Действительно, запи-
шем уравнения (1.3) в декартовой системе координат в скалярном
виде (1.35) – (1.37). Представление (1.69) непосредственно следует из
второго уравнения в (1.37). Подставим представление (1.69) во второе
уравнение из (1.35) и второе уравнение из (1.36). Получим следующие
цепочки равенств:
E
1
=
ωµ
0
β
H
2
+
1
iβ
∂E
3
∂x
1
=
=
ωµ
0
β
H
2
−
1
βω
∂
∂x
1
·
1
ε
µ
∂H
1
∂x
2
−
∂H
2
∂x
1
¶¸
,
E
2
= −
ωµ
0
β
H
1
+
1
iβ
∂E
3
∂x
2
=
= −
ωµ
0
β
H
1
−
1
βω
∂
∂x
2
·
1
ε
µ
∂H
1
∂x
2
−
∂H
2
∂x
1
¶¸
.
Следовательно, справедливы представления (1.70) и (1.71). Подста-
вим теперь полученные выражения (1.70) и (1.71) для составляю-
щих E
1
и E
2
в первое уравнение из (1.36). В результате получим
H
3
= −
1
iωµ
0
µ
∂E
2
∂x
1
−
∂E
1
∂x
2
=
=
1
iωµ
0
½
−
ωµ
0
β
∂H
1
∂x
1
−
1
βω
∂
∂x
1
∂
∂x
2
·
1
ε
µ
∂H
1
∂x
2
−
∂H
2
∂x
1
¶¸¾
+
+
1
iωµ
0
½
−
ωµ
0
β
∂H
2
∂x
2
+
1
βω
∂
∂x
2
∂
∂x
1
·
1
ε
µ
∂H
1
∂x
2
−
∂H
2
∂x
1
¶¸¾
=
= −
1
iβ
µ
∂H
1
∂x
1
+
∂H
2
∂x
2
.
Следовательно, справедливо представление (1.72).
§ 5. Скалярное приближение слабонаправляющего волновода            27

                            · µ            ¶¸
           µ0 ω       1 ∂ 1 ∂H1 ∂H2
      E1 =      H2 −                −         , R2 \ Γ,        (1.70)
            β        ωβ ∂x1 ε ∂x2      ∂x1
                             · µ            ¶¸
            µ0 ω       1 ∂ 1 ∂H1 ∂H2
     E2 = −      H1 −                −         , R2 \ Γ,       (1.71)
             β        ωβ ∂x2 ε ∂x2      ∂x1
                          µ           ¶
                       −1 ∂H1 ∂H2
                  H3 =          +       , R2 \ Γ,              (1.72)
                        iβ ∂x1    ∂x2
где ε = ε0 n2 — диэлектрическая проницаемость. Эти представления
легко получить из системы уравнений (1.3). Действительно, запи-
шем уравнения (1.3) в декартовой системе координат в скалярном
виде (1.35) – (1.37). Представление (1.69) непосредственно следует из
второго уравнения в (1.37). Подставим представление (1.69) во второе
уравнение из (1.35) и второе уравнение из (1.36). Получим следующие
цепочки равенств:
                           ωµ0       1 ∂E3
                       E1 =    H2 +         =
                            β       iβ ∂x1
                                · µ              ¶¸
                 ωµ0       1 ∂ 1 ∂H1 ∂H2
               =     H2 −                  −        ,
                  β       βω ∂x1 ε ∂x2       ∂x1

                           ωµ0       1 ∂E3
                      E2 = −   H1 +         =
                            β       iβ ∂x2
                                · µ              ¶¸
                 ωµ0       1 ∂ 1 ∂H1 ∂H2
              =−     H1 −                  −        .
                  β       βω ∂x2 ε ∂x2       ∂x1
Следовательно, справедливы представления (1.70) и (1.71). Подста-
вим теперь полученные выражения (1.70) и (1.71) для составляю-
щих E1 и E2 в первое уравнение из (1.36). В результате получим
                                 µ           ¶
                             1     ∂E2 ∂E1
                    H3 = −             −       =
                           iωµ0 ∂x1      ∂x2
              ½                         · µ            ¶¸¾
           1      ωµ0 ∂H1     1 ∂ ∂ 1 ∂H1 ∂H2
     =          −         −                      −         +
         iωµ0      β ∂x1     βω ∂x1 ∂x2 ε ∂x2      ∂x1
              ½                        · µ             ¶¸¾
          1       ωµ0 ∂H2    1 ∂ ∂ 1 ∂H1 ∂H2
      +         −         +                     −          =
        iωµ0       β ∂x2 βω ∂x2 ∂x1 ε ∂x2          ∂x1
                               µ           ¶
                            1 ∂H1 ∂H2
                       =−            +       .
                           iβ ∂x1      ∂x2
Следовательно, справедливо представление (1.72).

Страницы