Математические модели спектральной теории диэлектрических волноводов. Карчевский Е.М. - 29 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

§ 5. Скалярное приближение слабонаправляющего волновода 29
Вследствие того, что у слабонаправляющего волновода показа-
тель преломления мало меняется в плоскости R
2
, правыми частями в
системе (1.73), (1.74) можно пренебречь ([29], [6]). Таким образом, в
приближении слабонаправляющего волновода H
1
и H
2
удовлетворяют
уравнению Гельмгольца:
£
∆ +
¡
k
2
n
2
− β
2
¢¤
·
H
1
H
2
¸
= 0, x ∈ R
2
\ Γ. (1.75)
3. Условия сопряжения для H
1
и H
2
. Построим теперь,
следуя [29], [6], условия, которым в приближении слабонаправляюще-
го волновода должны удовлетворять функции H
1
, H
2
на контуре Γ.
Из условий сопряжения (1.42), (1.43) на границе Γ для касательных
составляющих векторов комплексных амплитуд E и H вытекают сле-
дующие условия сопряжения для компонент H
1
и H
2
:
H
+
1
= H
−
1
, H
+
2
= H
−
2
, x ∈ Γ, (1.76)
∂H
+
1
∂ν
−
∂H
−
1
∂ν
= ν
2
ε
+
− ε
−
ε
+
µ
∂H
+
1
∂x
2
−
∂H
+
2
∂x
1
, x ∈ Γ, (1.77)
∂H
+
2
∂ν
−
∂H
−
2
∂ν
= −ν
1
ε
+
− ε
−
ε
+
µ
∂H
+
1
∂x
2
−
∂H
+
2
∂x
1
, x ∈ Γ. (1.78)
Условия (1.76) непосредственно следуют из третьего условия со-
пряжения в (1.53). Проверим справедливость условия (1.77). Согласно
определению производной по нормали имеем
∂H
+
1
∂ν
−
∂H
−
1
∂ν
=
∂H
+
1
∂x
1
ν
1
+
∂H
+
1
∂x
2
ν
2
−
∂H
−
1
∂x
1
ν
1
−
∂H
−
1
∂x
2
ν
2
.
Прибавим и вычтем из правой части последнего равенства слагаемое
∂H
−
2
∂x
1
ν
2
.
В результате получим
∂H
+
1
∂ν
−
∂H
−
1
∂ν
=
∂H
+
1
∂x
1
ν
1
+
∂H
+
1
∂x
2
ν
2
−
∂H
−
1
∂x
1
ν
1
−
−
∂H
−
1
∂x
2
ν
2
+
∂H
−
2
∂x
1
ν
2
−
∂H
−
2
∂x
1
ν
2
.
Из условия сопряжения (1.42) и представления (1.69) следует, что
∂H
−
1
∂x
2
−
∂H
−
2
∂x
1
=
ε
−
ε
+
µ
∂H
+
1
∂x
2
−
∂H
+
2
∂x
1
.
§ 5. Скалярное приближение слабонаправляющего волновода               29


    Вследствие того, что у слабонаправляющего волновода показа-
тель преломления мало меняется в плоскости R2 , правыми частями в
системе (1.73), (1.74) можно пренебречь ([29], [6]). Таким образом, в
приближении слабонаправляющего волновода H1 и H2 удовлетворяют
уравнению Гельмгольца:
                                ·     ¸
             £      ¡ 2 2    ¢¤   H 1
               ∆ + k n − β2             = 0, x ∈ R2 \ Γ.        (1.75)
                                  H2
    3. Условия сопряжения для H1 и H2 . Построим теперь,
следуя [29], [6], условия, которым в приближении слабонаправляюще-
го волновода должны удовлетворять функции H1 , H2 на контуре Γ.
Из условий сопряжения (1.42), (1.43) на границе Γ для касательных
составляющих векторов комплексных амплитуд E и H вытекают сле-
дующие условия сопряжения для компонент H1 и H2 :
                    H+    −
                     1 = H1 ,         H+       −
                                        2 = H2 ,    x ∈ Γ,         (1.76)
                                       µ               ¶
      ∂H+ 1    ∂H− 1       ε+ − ε− ∂H+     1     ∂H+2
             −        = ν2       +
                                               −         , x ∈ Γ,  (1.77)
       ∂ν       ∂ν             ε         ∂x2      ∂x1
                                        µ +           +¶
     ∂H+2     ∂H −
                 2          ε +
                                 −  ε −
                                          ∂H 1    ∂H  2
            −        = −ν1        +
                                                −         , x ∈ Γ. (1.78)
      ∂ν       ∂ν               ε         ∂x2      ∂x1
   Условия (1.76) непосредственно следуют из третьего условия со-
пряжения в (1.53). Проверим справедливость условия (1.77). Согласно
определению производной по нормали имеем
         ∂H+1   ∂H−1   ∂H+
                         1      ∂H+
                                  1      ∂H−
                                           1      ∂H−
                                                    1
              −      =     ν1 +     ν2 −     ν1 −     ν2 .
          ∂ν     ∂ν    ∂x1      ∂x2      ∂x1      ∂x2
Прибавим и вычтем из правой части последнего равенства слагаемое
                                ∂H−
                                  2
                                    ν2 .
                                ∂x1
В результате получим
              ∂H+1   ∂H−1   ∂H+
                              1       ∂H+1       ∂H−1
                   −      =     ν1 +       ν2 −       ν1 −
               ∂ν     ∂ν    ∂x1       ∂x2         ∂x1
                       ∂H−    ∂H−        ∂H−
                     − 1 ν2 +     2
                                    ν2 −     2
                                               ν2 .
                       ∂x2     ∂x1        ∂x1
Из условия сопряжения (1.42) и представления (1.69) следует, что
                                   µ +        +¶
                ∂H−
                  1   ∂H  −
                          2    ε −
                                    ∂H 1   ∂H 2
                    −       = +          −       .
                ∂x2    ∂x1     ε    ∂x2    ∂x1

Страницы