Математические модели спектральной теории диэлектрических волноводов. Карчевский Е.М. - 31 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

§ 5. Скалярное приближение слабонаправляющего волновода 31
Из двух последних равенств следует условие сопряжения (1.77). Ана-
логичным образом можно убедиться в справедливости условия сопря-
жения (1.78).
Вследствие того, что у слабонаправляющего волновода показа-
тель преломления мало меняется в плоскости R
2
, правые части в гра-
ничных условиях (1.77), (1.78) можно считать равными нулю (см.,
напр., [29], [6]). Таким образом, в приближении слабонаправляющего
волновода функции H
1
и H
2
удовлетворяют одним и тем же условиям
сопряжения на контуре Γ:
H
+
1
= H
−
1
, H
+
2
= H
−
2
, x ∈ Γ, (1.79)
∂H
+
1
∂ν
=
∂H
−
1
∂ν
,
∂H
+
2
∂ν
=
∂H
−
2
∂ν
, x ∈ Γ. (1.80)
4. Условия излучения для H
1
и H
2
. Согласно результатам
параграфа 4, функции H
1
и H
2
на бесконечности должны удовлетво-
рять парциальным условиям излучения, а именно, для всех доста-
точно больших x, |x| ≥ R
0
, они должны разлагаться в равномерно и
абсолютно сходящиеся ряды
·
H
1
H
2
¸
=
∞
X
l=−∞
·
B
1,l
B
2,l
¸
H
(1)
l
(χ
∞
r) exp (ilϕ) .
(1.81)
Таким образом, в приближении слабонаправляющего волновода
функции H
1
и H
2
удовлетворяют одному и тому же уравнению Гельм-
гольца (1.75), одинаковым условиям сопряжения (1.79), (1.80) и оди-
наковым условиям излучения (1.81) на бесконечности. Следователь-
но, в рассматриваемом приближении H
1
и H
2
являются решениями
одной и той же задачи.
Подводя итог, еще раз подчеркнем, что скалярное приближение
слабонаправляющего волновода заключается в том, что вместо того,
чтобы разыскивать векторы комплексных амплитуд E и H, ищется
лишь одна скалярная функция u = H
1
= H
2
, удовлетворяющая сле-
дующим условиям:
£
∆ +
¡
k
2
n
2
− β
2
¢¤
u = 0, x ∈ R
2
\ Γ. (1.82)
u
+
= u
−
, x ∈ Γ, (1.83)
∂u
+
∂ν
=
∂u
−
∂ν
, x ∈ Γ, (1.84)
§ 5. Скалярное приближение слабонаправляющего волновода          31


Из двух последних равенств следует условие сопряжения (1.77). Ана-
логичным образом можно убедиться в справедливости условия сопря-
жения (1.78).
   Вследствие того, что у слабонаправляющего волновода показа-
тель преломления мало меняется в плоскости R2 , правые части в гра-
ничных условиях (1.77), (1.78) можно считать равными нулю (см.,
напр., [29], [6]). Таким образом, в приближении слабонаправляющего
волновода функции H1 и H2 удовлетворяют одним и тем же условиям
сопряжения на контуре Γ:

                    H+    −
                     1 = H1 ,   H+    −
                                 2 = H2 ,       x ∈ Γ,       (1.79)
               ∂H+1    ∂H−1    ∂H+ 2     ∂H−2
                     =      ,         =       , x ∈ Γ.      (1.80)
                ∂ν      ∂ν       ∂ν       ∂ν
    4. Условия излучения для H1 и H2 . Согласно результатам
параграфа 4, функции H1 и H2 на бесконечности должны удовлетво-
рять парциальным условиям излучения, а именно, для всех доста-
точно больших x, |x| ≥ R0 , они должны разлагаться в равномерно и
абсолютно сходящиеся ряды
             ·    ¸    X∞ ·        ¸
               H1             B1,l    (1)
                    =                Hl (χ∞ r) exp (ilϕ) .  (1.81)
               H2             B2,l
                        l=−∞

    Таким образом, в приближении слабонаправляющего волновода
функции H1 и H2 удовлетворяют одному и тому же уравнению Гельм-
гольца (1.75), одинаковым условиям сопряжения (1.79), (1.80) и оди-
наковым условиям излучения (1.81) на бесконечности. Следователь-
но, в рассматриваемом приближении H1 и H2 являются решениями
одной и той же задачи.
    Подводя итог, еще раз подчеркнем, что скалярное приближение
слабонаправляющего волновода заключается в том, что вместо того,
чтобы разыскивать векторы комплексных амплитуд E и H, ищется
лишь одна скалярная функция u = H1 = H2 , удовлетворяющая сле-
дующим условиям:
                £    ¡            ¢¤
                  ∆ + k 2 n2 − β 2 u = 0, x ∈ R2 \ Γ.        (1.82)

                          u+ = u − ,   x ∈ Γ,                (1.83)
                         ∂u+   ∂u−
                             =     ,    x ∈ Γ,               (1.84)
                          ∂ν    ∂ν

Страницы