Математические модели спектральной теории диэлектрических волноводов. Карчевский Е.М. - 33 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

§ 6. Собственные волны волноводов кругового поперечного сечения 33
особенностей, и на бесконечности они удовлетворяют парциальным
условиям излучения (1.56).
Из разложений (1.86), (1.87) и условий сопряжения (1.48) придем
к однородной бесконечной системе линейных алгебраических уравне-
ний относительно неизвестных a
l
, b
l
, c
l
, d
l
, l = 0, ±1, ±2, . . . Коэффи-
циенты матрицы этой системы нелинейно зависят от ω и β. Матрица
имеет такую блочно-диагональную структуру, что исходная система
распадается на бесконечное количество независимых систем из четы-
рех уравнений. Если при некоторых ω и β определитель какой-либо из
этих систем обращается в нуль, то она имеет нетривиальное решение,
определяющее собственную волну волновода. Из условия равенства
нулю соответствующих определителей придем к семейству трансцен-
дентных уравнений для определения параметров ω и β:
Ã
n
2
+
χ
∞
J
0
l
(χ
+
R)
J
l
(χ
+
R)
+ n
2
∞
χ
+
H
(1)
0
l
(χ
∞
R)
H
(1)
l
(χ
∞
R)
!
×
×
Ã
χ
∞
J
0
l
(χ
+
R)
J
l
(χ
+
R)
+ χ
+
H
(1)
0
l
(χ
∞
R)
H
(1)
l
(χ
∞
R)
!
= (1.88)
=
µ
βk(n
2
+
− n
2
∞
)l
χ
∞
χ
+
R
2
2
, l = 0, 1, 2, . . .
Эти уравнения в теории волноводов носят название характеристиче-
ских. Качественные свойства спектра могут быть изучены в данном
случае на основе анализа характеристических уравнений методами
теории функций комплексного переменного с использованием свойств
функций Бесселя и Ханкеля.
Важные результаты относительно качественных свойств спектра
собственных волн цилиндрических диэлектрических волноводов кру-
гового поперечного сечения были получены в [18] и [3]. В этих ста-
тьях было доказано что при ω > 0 у волноводов кругового сечения
наряду с хорошо известными поверхностными собственными волна-
ми (см., напр., [29]), отвечающими β ∈ G, существуют комплексные
собственные волны [3], постоянные распространения β которых при-
надлежат C
(1)
0
, и вытекающие собственные волны [18] с β ∈ Λ
(2)
0
\R
(2)
0
.
На рисунке 2 показаны дисперсионные кривые для поверхностных
собственных волн цилиндрического диэлектрического волновода кру-
гового поперечного сечения — графики функций β = β(k), где k > 0,
§ 6. Собственные волны волноводов кругового поперечного сечения           33


особенностей, и на бесконечности они удовлетворяют парциальным
условиям излучения (1.56).
    Из разложений (1.86), (1.87) и условий сопряжения (1.48) придем
к однородной бесконечной системе линейных алгебраических уравне-
ний относительно неизвестных al , bl , cl , dl , l = 0, ±1, ±2, . . . Коэффи-
циенты матрицы этой системы нелинейно зависят от ω и β. Матрица
имеет такую блочно-диагональную структуру, что исходная система
распадается на бесконечное количество независимых систем из четы-
рех уравнений. Если при некоторых ω и β определитель какой-либо из
этих систем обращается в нуль, то она имеет нетривиальное решение,
определяющее собственную волну волновода. Из условия равенства
нулю соответствующих определителей придем к семейству трансцен-
дентных уравнений для определения параметров ω и β:
              Ã                                           !
                        0                    (1)0
                      J   (χ + R)          H      (χ ∞ R)
                n2+ χ∞ l          + n2∞ χ+ l(1)             ×
                      Jl (χ+ R)            H (χ∞ R)
                                              l
                    Ã                                  !
                                            (1)0
                         Jl0 (χ+ R)       Hl (χ∞ R)
                 × χ∞               + χ+ (1)                =      (1.88)
                         Jl (χ+ R)        Hl (χ∞ R)
                    µ                  ¶2
                       βk(n2+ − n2∞ )l
                  =                       , l = 0, 1, 2, . . .
                         χ∞ χ+ R 2
Эти уравнения в теории волноводов носят название характеристиче-
ских. Качественные свойства спектра могут быть изучены в данном
случае на основе анализа характеристических уравнений методами
теории функций комплексного переменного с использованием свойств
функций Бесселя и Ханкеля.
    Важные результаты относительно качественных свойств спектра
собственных волн цилиндрических диэлектрических волноводов кру-
гового поперечного сечения были получены в [18] и [3]. В этих ста-
тьях было доказано что при ω > 0 у волноводов кругового сечения
наряду с хорошо известными поверхностными собственными волна-
ми (см., напр., [29]), отвечающими β ∈ G, существуют комплексные
собственные волны [3], постоянные распространения β которых при-
            (1)                                                (2)    (2)
надлежат C0 , и вытекающие собственные волны [18] с β ∈ Λ0 \R0 .
    На рисунке 2 показаны дисперсионные кривые для поверхностных
собственных волн цилиндрического диэлектрического волновода кру-
гового поперечного сечения — графики функций β = β(k), где k > 0,

Страницы