Математические модели спектральной теории диэлектрических волноводов. Карчевский Е.М. - 32 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

32 Глава 1. Основные уравнения
u =
∞
X
l=−∞
a
l
H
(1)
l
(χ
∞
r) exp (ilϕ) , |x| ≥ R
0
. (1.85)
Остальные компоненты векторов E и H определяются затем по фор-
мулам (1.69) – (1.72).
§ 6. Собственные волны волноводов кругового поперечного
сечения
Рассмотрим частный случай диэлектрического волновода круго-
вого поперечного сечения с функцией n, принимающей постоянные
значения внутри волновода и в окружающей среде. В этом случае ис-
ходные спектральные задачи (в полной электродинамической поста-
новке и в приближении слабонаправляющего волновода) методом раз-
деления переменных сводятся к семействам трансцендентных уравне-
ний относительно ω и β (см., напр., [29]).
1. Векторная задача в полной электродинамической по-
становке. Пусть R — радиус волновода, n
∞
> 0 — показатель пре-
ломления окружающей среды и n
+
> n
∞
— показатель преломле-
ния волновода. Как было доказано в утверждении 1.5, для любой
собственной волны существуют потенциальные функции u(x) и v(x),
определяющие ее амплитуду. Потенциальные функции удовлетворя-
ют следующим уравнениям Гельмгольца:
£
∆ +
¡
k
2
n
2
+
− β
2
¢¤
·
u
v
¸
= 0, |x| < R,
£
∆ +
¡
k
2
n
2
∞
− β
2
¢¤
·
u
v
¸
= 0, |x| > R.
где k
2
= ε
0
µ
0
ω
2
. Применим для решения этих уравнений метод раз-
деления переменных. Получим разложения
·
u
v
¸
=
∞
X
l=−∞
·
c
l
d
l
¸
J
l
(χ
+
r) exp (ilϕ) , |x| < R, (1.86)
·
u
v
¸
=
∞
X
l=−∞
·
a
l
b
l
¸
H
(1)
l
(χ
∞
r) exp (ilϕ) , |x| > R.
(1.87)
Здесь χ
+
=
p
k
2
n
2
+
− β
2
; J
n
(χ
+
r) — функции Бесселя порядка l [32].
В этих разложениях учтено, что искомые функции не должны иметь
32                                                    Глава 1. Основные уравнения


                        ∞
                        X          (1)
                   u=          al Hl (χ∞ r) exp (ilϕ) ,   |x| ≥ R0 .       (1.85)
                        l=−∞
Остальные компоненты векторов E и H определяются затем по фор-
мулам (1.69) – (1.72).

§ 6. Собственные волны волноводов кругового поперечного
                          сечения

    Рассмотрим частный случай диэлектрического волновода круго-
вого поперечного сечения с функцией n, принимающей постоянные
значения внутри волновода и в окружающей среде. В этом случае ис-
ходные спектральные задачи (в полной электродинамической поста-
новке и в приближении слабонаправляющего волновода) методом раз-
деления переменных сводятся к семействам трансцендентных уравне-
ний относительно ω и β (см., напр., [29]).
    1. Векторная задача в полной электродинамической по-
становке. Пусть R — радиус волновода, n∞ > 0 — показатель пре-
ломления окружающей среды и n+ > n∞ — показатель преломле-
ния волновода. Как было доказано в утверждении 1.5, для любой
собственной волны существуют потенциальные функции u(x) и v(x),
определяющие ее амплитуду. Потенциальные функции удовлетворя-
ют следующим уравнениям Гельмгольца:
                                  · ¸
              £    ¡ 2 2       ¢¤  u
                ∆ + k n+ − β 2        = 0, |x| < R,
                                   v
                                  · ¸
              £    ¡ 2 2     2
                               ¢¤ u
                ∆ + k n∞ − β          = 0, |x| > R.
                                   v
где k 2 = ε0 µ0 ω 2 . Применим для решения этих уравнений метод раз-
деления переменных. Получим разложения
         · ¸          ∞ ·
                      X       ¸
           u               cl
                 =              J (χ r) exp (ilϕ) , |x| < R,  (1.86)
           v               dl l +
                    l=−∞
       ·       ¸
               X∞ ·       ¸
           u          al      (1)
            =               Hl (χ∞ r) exp (ilϕ) , |x| > R.     (1.87)
           v          bl
              l=−∞
           p
Здесь χ+ = k 2 n2+ − β 2 ; Jn (χ+ r) — функции Бесселя порядка l [32].
В этих разложениях учтено, что искомые функции не должны иметь

Страницы