Математические модели спектральной теории диэлектрических волноводов. Карчевский Е.М. - 30 стр.

30                                           Глава 1. Основные уравнения


Объединим два последних равенства и получим уравнение
        ∂H+1   ∂H−1   ∂H+
                        1      ∂H+1      ∂H−1      ∂H−
                                                     2
             −      =     ν1 +      ν2 −      ν1 −     ν2 −
         ∂ν     ∂ν    ∂x1      ∂x2        ∂x1      ∂x1
                           µ            +¶
                        ε− ∂H+  1    ∂H 2
                     −ν2 +        −         .
                        ε     ∂x2     ∂x1
Прибавим и вычтем из его правой части слагаемое
                                ∂H+
                                  2
                                    ν2 .
                                ∂x1
Учтем, что ν1 = τ2 , ν2 = −τ1 . В результате получим
         ∂H+1   ∂H−1    ∂H+1      ∂H−1       ∂H−2      ∂H+
                                                         2
              −      =       τ2 −       τ2 +      τ1 −     τ1 +
          ∂ν     ∂ν     ∂x1        ∂x1       ∂x1       ∂x1
                                 µ              ¶
                        ε+ − ε− ∂H+   1     ∂H+
                                              2
                    +ν2                  −         .
                           ε+      ∂x2      ∂x1
Из второго условия сопряжения (1.53) и представления (1.72) следует,
что
                    ∂H+1   ∂H−
                             1    ∂H− 2   ∂H+2
                         −     =        −      .
                    ∂x1    ∂x1     ∂x2    ∂x2
Из двух последних равенств получим следующее условие на конту-
ре Γ:
         ∂H+1   ∂H−1    ∂H−2      ∂H+2       ∂H−2      ∂H+
                                                         2
              −      =       τ2 −       τ2 +      τ1 −     τ1 +
          ∂ν     ∂ν     ∂x2        ∂x2       ∂x1       ∂x1
                                 µ              ¶
                        ε+ − ε− ∂H+   1     ∂H+
                                              2
                    +ν2                  −         .
                           ε+      ∂x2      ∂x1
Запишем это условие, используя определение производной по каса-
тельной (1.55):
                                             µ           ¶
      ∂H+1    ∂H−1   ∂H−2   ∂H+2      ε+ − ε− ∂H+1   ∂H+
                                                       2
           −       =      −      + ν2              −       .
       ∂ν      ∂ν     ∂τ     ∂τ          ε+    ∂x2   ∂x1
Так как справедливо условие (1.76), то есть предельные значения
функции H1 изнутри и извне контура Γ совпадают, то предельные
значения производной этой функции по касательной к контуру Γ так-
же совпадают:
                          ∂H−2   ∂H+2
                               =      .
                           ∂τ     ∂τ