ВУЗ:
Составители:
28 Глава 1. Основные уравнения
2. Дифференциальные уравнения для H
1
и H
2
. Из систе-
мы уравнений (1.3) вытекает, что составляющие H
1
и H
2
для всех x
из R
2
\ Γ удовлетворяют системе дифференциальных уравнений
£
∆ +
¡
k
2
n
2
− β
2
¢¤
H
1
=
1
ε
∂ε
∂x
2
µ
∂H
1
∂x
2
−
∂H
2
∂x
1
¶
, (1.73)
£
∆ +
¡
k
2
n
2
− β
2
¢¤
H
2
= −
1
ε
∂ε
∂x
1
µ
∂H
1
∂x
2
−
∂H
2
∂x
1
¶
. (1.74)
Проверим сначала справедливость уравнения (1.74). Для этого под-
ставим во второе уравнение из (1.35) полученные выражения (1.70)
и (1.72) для компонент E
1
и H
3
. В результате получим следующее
равенство:
∂
∂x
2
µ
−
1
iβ
µ
∂H
1
∂x
1
+
∂H
2
∂x
2
¶¶
− iβH
2
=
= −iωε
µ
ωµ
0
β
H
2
−
1
βω
∂
∂x
1
·
1
ε
µ
∂H
1
∂x
2
−
∂H
2
∂x
1
¶¸¶
.
Отсюда, после дифференцирования, получим равенство:
−
1
iβ
µ
∂
2
H
1
∂x
2
∂x
1
+
∂
2
H
2
∂x
2
2
¶
− iβH
2
=
= −iωε
ωµ
0
β
H
2
+ iωε
1
βω
∂
∂x
1
µ
1
ε
¶µ
∂H
1
∂x
2
−
∂H
2
∂x
1
¶
+
+iωε
1
ε
µ
∂
2
H
1
∂x
1
∂x
2
−
∂
2
H
2
∂x
2
1
¶
,
Умножим левую и правую части последнего равенства на iβ и полу-
чим:
−
∂
2
H
1
∂x
2
∂x
1
−
∂
2
H
2
∂x
2
2
+β
2
H
2
=
= k
2
n
2
H
2
− ε
∂
∂x
1
µ
1
ε
¶µ
∂H
1
∂x
2
−
∂H
2
∂x
1
¶
−
∂
2
H
1
∂x
1
∂x
2
+
∂
2
H
2
∂x
2
1
Отсюда и из очевидного тождества
ε
∂
∂x
1
1
ε
= −
1
ε
∂ε
∂x
1
следует, что уравнение (1.74) имеет место. Аналогичным образом, ес-
ли подставить во второе уравнение из (1.36) выражения (1.71) и (1.72)
для компонент E
2
и H
3
, можно получить уравнение (1.73).
28 Глава 1. Основные уравнения
2. Дифференциальные уравнения для H1 и H2 . Из систе-
мы уравнений (1.3) вытекает, что составляющие H1 и H2 для всех x
из R2 \ Γ удовлетворяют системе дифференциальных уравнений
µ ¶
£ ¡ 2 2 2
¢¤ 1 ∂ε ∂H1 ∂H2
∆ + k n − β H1 = − , (1.73)
ε ∂x2 ∂x2 ∂x1
µ ¶
£ ¡ ¢¤ 1 ∂ε ∂H1 ∂H2
∆ + k 2 n2 − β 2 H 2 = − − . (1.74)
ε ∂x1 ∂x2 ∂x1
Проверим сначала справедливость уравнения (1.74). Для этого под-
ставим во второе уравнение из (1.35) полученные выражения (1.70)
и (1.72) для компонент E1 и H3 . В результате получим следующее
равенство:
µ µ ¶¶
∂ 1 ∂H1 ∂H2
− + − iβH2 =
∂x2 iβ ∂x1 ∂x2
µ · µ ¶¸¶
ωµ0 1 ∂ 1 ∂H1 ∂H2
= −iωε H2 − − .
β βω ∂x1 ε ∂x2 ∂x1
Отсюда, после дифференцирования, получим равенство:
µ 2 ¶
1 ∂ H1 ∂ 2 H2
− + − iβH2 =
iβ ∂x2 ∂x1 ∂x22
µ ¶µ ¶
ωµ0 1 ∂ 1 ∂H1 ∂H2
= −iωε H2 + iωε − +
β βω ∂x1 ε ∂x2 ∂x1
µ 2 ¶
1 ∂ H1 ∂ 2 H2
+iωε − ,
ε ∂x1 ∂x2 ∂x21
Умножим левую и правую части последнего равенства на iβ и полу-
чим:
∂ 2 H1 ∂ 2 H2 2
− − +β H2 =
∂x2 ∂x1 ∂x22
µ ¶µ ¶
∂ 1 ∂H 1 ∂H 2 ∂ 2 H1 ∂ 2 H2
= k 2 n2 H 2 − ε − − +
∂x1 ε ∂x2 ∂x1 ∂x1 ∂x2 ∂x21
Отсюда и из очевидного тождества
∂ 1 1 ∂ε
ε =−
∂x1 ε ε ∂x1
следует, что уравнение (1.74) имеет место. Аналогичным образом, ес-
ли подставить во второе уравнение из (1.36) выражения (1.71) и (1.72)
для компонент E2 и H3 , можно получить уравнение (1.73).
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 26
- 27
- 28
- 29
- 30
- …
- следующая ›
- последняя »
