Математика. Часть 1. Карелина И.Г. - 23 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

• Обратная функция
Пусть функция y = f(x) определена на отрезке [a; b], причем α = f(a),
β = f(b), и отображение f отрезка [a; b] в отрезок [α; β] является взаимно одно-
значным. Тогда на отрезке [α; β] можно определить функцию, которая каждому
значению y ∈ [α; β] ставит в соответствие единственное значение x ∈ [a; b] та-
кое, что f(x) = y. Таким образом определенная функция называется обратной
для функции y = f(x) и обозначается f
−1
(x).
Если функция y = f(x) на отрезке [a; b] строго монотонна, то она имеет на
этом отрезке обратную.
Графики двух взаимно обратных функций симметричны относительно прямой
y = x.
Например, функции y = ln x и y = e
x
являются взаимно обратными. Для
функции y = sin x существует ей обратная функция y = arcsin x на промежутке
[−
π
2
;
π
2
].
• Отдельно рассмотрим функции y = sign x – знак числа, y = [x] – целая часть
числа, y = {x} – дробная часть числа.
По определению
y = sign x =
1, x > 0,
0, x = 0,
−1, x < 0.
x
y
0
1
yx= sign
-1
Любое вещественное число можно записать в виде x = n + r, где n ∈ Z,
0 ≤ r < 1. Тогда полагают [x] = n, {x} = r.
x
y
0
1
yx=[ ]
-1
2
-2
1
2
x
y
0
yx={ }
1
3
-1
2
1
-2
23
• Обратная функция
   Пусть функция y = f (x) определена на отрезке [a; b], причем α = f (a),
β = f (b), и отображение f отрезка [a; b] в отрезок [α; β] является взаимно одно-
значным. Тогда на отрезке [α; β] можно определить функцию, которая каждому
значению y ∈ [α; β] ставит в соответствие единственное значение x ∈ [a; b] та-
кое, что f (x) = y. Таким образом определенная функция называется обратной
для функции y = f (x) и обозначается f −1 (x).
   Если функция y = f (x) на отрезке [a; b] строго монотонна, то она имеет на
этом отрезке обратную.
   Графики двух взаимно обратных функций симметричны относительно прямой
y = x.
    Например, функции y = ln x и y = ex являются взаимно обратными. Для
функции y = sin x существует ей обратная функция y = arcsin x на промежутке
[− π2 ; π2 ].


 • Отдельно рассмотрим функции y = sign x – знак числа, y = [x] – целая часть
числа, y = {x} – дробная часть числа.

                                                            y
  По определению                                                    y = sign x
                                                           1
                       1, x > 0,
         y = sign x =   0, x = 0,
                                                               0            x
                        −1, x < 0.
                                                                -1


   Любое вещественное число можно записать в виде x = n + r, где n ∈ Z,
0 ≤ r < 1. Тогда полагают [x] = n, {x} = r.

            y                                           y
                         y = [x]                                      y = {x}
            2
                                                            1
            1
            0        1   2         x          -2   -1   0       1      2     3   x
                -1
                -2




                                       23

Страницы