ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
2.4. Свойства функций
Функция y = f(x) называется ограниченной снизу (сверху), если
∃(M ∈
R
)∀(x ∈ D(f)) f(x) ≥ M
(∃(M ∈
R
)∀(x ∈ D(f)) f(x) ≤ M).
График ограниченной снизу (сверху) функции лежит выше (ниже) прямой y = M.
Функция y = f(x) называется ограниченной, если
∃(M > 0)∀(x ∈ D(f)) |f(x)| ≤ M.
График ограниченной функции лежит между прямыми y = −M и y = M.
Пример
Функция y = x
2
является ограниченной снизу, так как существует число M =
0, что для любого допустимого значения переменной x выполняется неравенство
x
2
≥ 0.
Функция y = sin x является ограниченной, поскольку для всех x из области
определения функции y = sin x выполняется неравенство |sin x| ≤ 1.
Функция y = f(x) называется четной, если для любого значения x ∈ D(f)
значение −x ∈ D(f) и выполняется равенство f(−x) = f(x).
Функция y = f(x) называется нечетной, если для любого x ∈ D(f) значение
−x ∈ D(f) и выполняется равенство f(−x) = −f(x).
График четной функции симметричен относительно оси 0y, нечетной функции
– относительно начала координат.
Например, функции y = x
2
, y = cos x являются четными, а функции y = x
3
,
y = sin x являются нечетными.
Функция y = f(x) называется периодической, если существует T 6= 0 такое,
что для любого значения x ∈ D(f) значения x + T, x −T ∈ D(f) и выполняется
равенство f(x) = f(x + T ), при этом число T называют периодом функции
y = f(x).
Пример
Периодическими являются функции
y = sin x (наименьший положительный период T = 2π),
y = {x} (наименьший положительный период T = 1).
Функция y = f(x) называется возрастающей на промежутке E ⊂ D(f),
если
∀(x
1
, x
2
∈ E : x
1
< x
2
) f(x
1
) < f(x
2
).
Функция y = f(x) называется убывающей на промежутке E ⊂ D(f), если
∀(x
1
, x
2
∈ E : x
1
< x
2
) f(x
1
) < f(x
2
).
24
2.4. Свойства функций
Функция y = f (x) называется ограниченной снизу (сверху), если
∃(M ∈ R)∀(x ∈ D(f )) f (x) ≥ M
(∃(M ∈ R)∀(x ∈ D(f )) f (x) ≤ M ).
График ограниченной снизу (сверху) функции лежит выше (ниже) прямой y = M.
Функция y = f (x) называется ограниченной, если
∃(M > 0)∀(x ∈ D(f )) |f (x)| ≤ M.
График ограниченной функции лежит между прямыми y = −M и y = M.
Пример
Функция y = x2 является ограниченной снизу, так как существует число M =
0, что для любого допустимого значения переменной x выполняется неравенство
x2 ≥ 0.
Функция y = sin x является ограниченной, поскольку для всех x из области
определения функции y = sin x выполняется неравенство | sin x| ≤ 1.
Функция y = f (x) называется четной, если для любого значения x ∈ D(f )
значение −x ∈ D(f ) и выполняется равенство f (−x) = f (x).
Функция y = f (x) называется нечетной, если для любого x ∈ D(f ) значение
−x ∈ D(f ) и выполняется равенство f (−x) = −f (x).
График четной функции симметричен относительно оси 0y, нечетной функции
– относительно начала координат.
Например, функции y = x2 , y = cos x являются четными, а функции y = x3 ,
y = sin x являются нечетными.
Функция y = f (x) называется периодической, если существует T �= 0 такое,
что для любого значения x ∈ D(f ) значения x + T, x − T ∈ D(f ) и выполняется
равенство f (x) = f (x + T ), при этом число T называют периодом функции
y = f (x).
Пример
Периодическими являются функции
y = sin x (наименьший положительный период T = 2π),
y = {x} (наименьший положительный период T = 1).
Функция y = f (x) называется возрастающей на промежутке E ⊂ D(f ),
если
∀(x1 , x2 ∈ E : x1 < x2 ) f (x1 ) < f (x2 ).
Функция y = f (x) называется убывающей на промежутке E ⊂ D(f ), если
∀(x1 , x2 ∈ E : x1 < x2 ) f (x1 ) < f (x2 ).
24
