Математика. Часть 1. Карелина И.Г. - 5 стр.

Тот факт, что элемент a не принадлежит множеству A (или a не содержится во
множестве A), обозначают
                                   a∈
                                    / A.
  Если все элементы множества A обладают свойством P (a), то пишут

                               A = {a : P (a)},

и говорят: "множество элементов a таких, что выполняется P (a)".
   Может оказаться, что характеристическим свойством, определяющим мно-
жество A, не обладает ни один элемент, тогда говорят, что "множество A пу-
сто"или "множество A является пустым". Пустое множество обозначают сим-
волом ∅. Например, множество действительных решений уравнения x2 = − 1
пусто, поскольку нет ни одного действительного числа, квадрат которого равен
−1.
   Множество, состоящее из конечного числа элементов, называется конеч-
ным. Примером конечного множества может служить множество цифр, то есть
A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
   Множество, состоящее из бесконечного числа элементов, называется беско-
нечным. Это, например, множество чисел, используемых при счете предметов.
   В дальнейшем для обозначения того, что элемент a является произвольным
(любым, всяким) элементом множества A, будем писать

                                  ∀(a ∈ A),

если же речь идет о некотором (фиксированном, вполне определенном) элементе
a множества A, будем писать
                                  ∃(a ∈ A).
   Множества A и B называют равными, если они состоят из одних и тех же
элементов, и пишут A = B. Таким образом, множества A и B равны, если из
того, что x ∈ A следует, что x ∈ B и наоборот, из того, что x ∈ B следует, что
x∈A
            �      �      �                                      �
              A = B ⇐⇒ ∀(x ∈ A) ⇒ x ∈ B и ∀(x ∈ B) ⇒ x ∈ A .
   Множество A называют подмножеством множества B, если из того, что
x ∈ A следует, что x ∈ B, и пишут A ⊂ B
                      �       �     �            �
                        A ⊂ B ⇐⇒ ∀(x ∈ A) ⇒ x ∈ B .

   Заметим, что пустое множество является подмножеством любого множества.
   Часто приходится рассматривать достаточно обширное множество, в рамках
которого ведется исследование. Такое множество будем называть универсаль-
ным множеством и обозначать через U.

                                      5