Математика. Часть 1. Карелина И.Г. - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

1.2. Числовые множества. Промежутки
Некоторые множества имеют специальные обозначения.
Множество, элементами которого являются числа, используемые при счете
предметов среди однородных предметов, называют множеством натураль-
ных чисел и обозначают через N . Для обозначения его элементов используют,
как правило, буквы i, j, k, l, m , n. Множество
N
является бесконечным.
Например, множество натуральных чисел, которые без остатка делятся на
число 5, можно записать в виде:
N
5
= {5n : n ∈
N
}.
Множество, элементами которого являются натуральные числа, им противо-
положные и число 0, называют множеством целых чисел и обозначают через
Z
. Для обозначения его элементов используют также буквы i, j, k, l, m , n.
Множество, элементами которого являются числа, представимые в виде бес-
конечных десятичных периодических дробей, называют множеством рацио-
нальных чисел и обозначают через
Q
. Поскольку любая бесконечная десятич-
ная периодическая дробь может быть представлена в виде обыкновенной дроби,
то множество
Q
можно описать следующим образом
Q
= {
m
n
: m ∈
Z
, n ∈
N
},
Множество, элементами которого являются числа, представимые в виде бес-
конечных десятичных непериодических дробей, называют множеством ирра-
циональных чисел. Специального обозначения это множество не имеет.
Пример
Диагональ квадрата со стороной, равной единице, не может быть представле-
на с помощью рационального числа. По теореме Пифагора квадрат длины диа-
гонали равен a
2
= 1
2
+ 1
2
= 2, число a не является рациональным. Покажем
это.
Так как 1
2
= 1, 2
2
= 4, то число a не может быть целым. Предположим, что
число a является рациональным, то есть a =
m
n
, где m ∈
Z
, n ∈
N
, причем
дробь
m
n
является несократимой, то есть n 6= 1, числа m и n не имеют общих
множителей. Так как n
2
6= 1, то a
2
=
m
2
n
2
не является целым числом, а потому
не может равняться 2. Поэтому длина диагонали квадрата выражается числом,
которое не является ни целым, ни рациональным. Число
√
2 – иррациональное.
Иррациональным является и число π, выражающее отношение длины окруж-
ности к ее диаметру.
6
  1.2. Числовые множества. Промежутки

  Некоторые множества имеют специальные обозначения.
  Множество, элементами которого являются числа, используемые при счете
предметов среди однородных предметов, называют множеством натураль-
ных чисел и обозначают через N . Для обозначения его элементов используют,
как правило, буквы i, j, k, l, m, n. Множество N является бесконечным.
  Например, множество натуральных чисел, которые без остатка делятся на
число 5, можно записать в виде:

                            N5 = {5n : n ∈ N}.
   Множество, элементами которого являются натуральные числа, им противо-
положные и число 0, называют множеством целых чисел и обозначают через
Z . Для обозначения его элементов используют также буквы i, j, k, l, m, n.
   Множество, элементами которого являются числа, представимые в виде бес-
конечных десятичных периодических дробей, называют множеством рацио-
нальных чисел и обозначают через Q . Поскольку любая бесконечная десятич-
ная периодическая дробь может быть представлена в виде обыкновенной дроби,
то множество Q можно описать следующим образом
                               m
                         Q={     : m ∈ Z, n ∈ N},
                               n
  Множество, элементами которого являются числа, представимые в виде бес-
конечных десятичных непериодических дробей, называют множеством ирра-
циональных чисел. Специального обозначения это множество не имеет.

  Пример
   Диагональ квадрата со стороной, равной единице, не может быть представле-
на с помощью рационального числа. По теореме Пифагора квадрат длины диа-
гонали равен a2 = 12 + 12 = 2, число a не является рациональным. Покажем
это.
   Так как 12 = 1, 22 = 4, то число a не может быть целым. Предположим, что
                                               m
число a является рациональным, то есть a =       , где m ∈ Z, n ∈ N, причем
                                               n
       m
дробь     является несократимой, то есть n �= 1, числа m и n не имеют общих
       n
                       2          2    m2
множителей. Так как n �= 1, то a = 2 не является целым числом, а потому
                                       n
не может равняться 2. Поэтому длина диагонали квадрата  √ выражается числом,
которое не является ни целым, ни рациональным. Число 2 – иррациональное.
   Иррациональным является и число π, выражающее отношение длины окруж-
ности к ее диаметру.


                                     6

Страницы