Математика. Часть 3. Карелина И.Г. - 5 стр.

  Лекция 9.
  ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
  9.1. Определение
  9.2. Свойства определенного интеграла
  9.3. Интеграл с переменным верхним (нижним) пределом
  9.4. Приложения определенного интеграла
  9.5. Несобственный интеграл
  9.6. Упражнения

  9.1. Определение

  Пусть функция f (x) определена и непрерывна на отрезке [a; b].
  Рассмотрим задачу о нахождении площади криволинейной трапеции – фигу-
ры на плоскости, ограниченной снизу отрезком [a; b] оси 0x, сверху – графиком
функции y = f (x) (для определенности можно считать, что f (x) ≥ 0), слева и
справа соответственно отрезками прямых x = a, x = b.

           y                                              y = f(x)
                                           f(�i )




           0
                                               �i
               a = x0 < x1 <…< xi-1 < xi <…< x = b                    x
                                              n

   Разобьем отрезок [a; b] на части точками a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn−1 <
xn = b, обозначим длину i-го отрезка через Δxi = xi − xi−1 . Прямые x = xi
разобьют исходную криволинейную трапецию на части, сумма площадей кото-
рых даст площадь исходной трапеции. Если высоту трапеций на каждом из про-
межутков [xi−1 ; xi ] считать постоянной и равной значению функции f (τi ) в неко-
торой произвольной точке τi ∈ [xi−1 ; xi ], то площадь исходной криволинейной
трапеции будет приближенно равна
                                     n
                                     �
                                S≈         f (τi )Δxi .
                                     i=1


                                           5