Математика. Часть 3. Карелина И.Г. - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

Сумму
n
X
i=1
f(τ
i
)∆x
i
называют интегральной суммой, а ее предел при λ = max ∆x
i
→ 0, если он
существует и не зависит от способа разбиения отрезка [a; b] на части и выбора
точек τ
i
в каждой из частей, – определенным интегралом по отрезку [a; b] от
функции f(x) и обозначают
b
Z
a
f(x) dx = lim
λ→0
n
X
i=1
f(τ
i
)∆x
i
.
Числа a, b называют соответственно нижним и верхним пределами инте-
грирования.
С геометрической точки зрения определенный интеграл есть площадь соот-
ветствующей криволинейной трапеции.
Пример
Вычислим
1
Z
0
x dx, используя определение определенного интеграла.
Разобьем промежуток [0; 1] на n равных частей длины ∆x
k
=
1
n
и выберем
вначале в качестве точки τ
k
левый конец соответствующего промежутка τ
k
=
k−1
n
, где k = 1, 2, . . . n, тогда интегральная сумма будет иметь вид
S
1
=
n
P
k=1
f(τ
k
)∆x
k
=
n
P
k=1
k − 1
n
·
1
n
=
1
n
2
·
n
X
k=1
(k − 1) =
=
1
n
2
· (0 + 1 + 2 + ··· + (n − 1)) =
1
n
2
·
(n −1)n
2
=
=
(n −1)n
2n
2
=
n −1
2n
6
Сумму
                                       n
                                       �
                                             f (τi )Δxi
                                       i=1


называют интегральной суммой, а ее предел при λ = max Δxi → 0, если он
существует и не зависит от способа разбиения отрезка [a; b] на части и выбора
точек τi в каждой из частей, – определенным интегралом по отрезку [a; b] от
функции f (x) и обозначают

                            �b                     n
                                                   �
                                 f (x) dx = lim          f (τi )Δxi .
                                             λ→0
                            a                      i=1


  Числа a, b называют соответственно нижним и верхним пределами инте-
грирования.

   С геометрической точки зрения определенный интеграл есть площадь соот-
ветствующей криволинейной трапеции.



  Пример

             �1
  Вычислим        x dx, используя определение определенного интеграла.
             0



   Разобьем промежуток [0; 1] на n равных частей длины Δxk = n1 и выберем
вначале в качестве точки τk левый конец соответствующего промежутка τk =
k−1
 n , где k = 1, 2, . . . n, тогда интегральная сумма будет иметь вид


                                                  n
                      �
                      n              �n k−1 1  1 �
           S1     =     f (τk )Δxk =       · = 2·   (k − 1) =
                    k=1              k=1 n  n n
                                                                    k=1

                      1                                    1 (n − 1)n
                  =      · (0 + 1 + 2 + · · · + (n − 1)) =    ·       =
                      n2                                   n2    2
                      (n − 1)n n − 1
                  =           =
                         2n2    2n

                                               6

Страницы