ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
Сумму
n
X
i=1
f(τ
i
)∆x
i
называют интегральной суммой, а ее предел при λ = max ∆x
i
→ 0, если он
существует и не зависит от способа разбиения отрезка [a; b] на части и выбора
точек τ
i
в каждой из частей, – определенным интегралом по отрезку [a; b] от
функции f(x) и обозначают
b
Z
a
f(x) dx = lim
λ→0
n
X
i=1
f(τ
i
)∆x
i
.
Числа a, b называют соответственно нижним и верхним пределами инте-
грирования.
С геометрической точки зрения определенный интеграл есть площадь соот-
ветствующей криволинейной трапеции.
Пример
Вычислим
1
Z
0
x dx, используя определение определенного интеграла.
Разобьем промежуток [0; 1] на n равных частей длины ∆x
k
=
1
n
и выберем
вначале в качестве точки τ
k
левый конец соответствующего промежутка τ
k
=
k−1
n
, где k = 1, 2, . . . n, тогда интегральная сумма будет иметь вид
S
1
=
n
P
k=1
f(τ
k
)∆x
k
=
n
P
k=1
k − 1
n
·
1
n
=
1
n
2
·
n
X
k=1
(k − 1) =
=
1
n
2
· (0 + 1 + 2 + ··· + (n − 1)) =
1
n
2
·
(n −1)n
2
=
=
(n −1)n
2n
2
=
n −1
2n
6
Сумму n � f (τi )Δxi i=1 называют интегральной суммой, а ее предел при λ = max Δxi → 0, если он существует и не зависит от способа разбиения отрезка [a; b] на части и выбора точек τi в каждой из частей, – определенным интегралом по отрезку [a; b] от функции f (x) и обозначают �b n � f (x) dx = lim f (τi )Δxi . λ→0 a i=1 Числа a, b называют соответственно нижним и верхним пределами инте- грирования. С геометрической точки зрения определенный интеграл есть площадь соот- ветствующей криволинейной трапеции. Пример �1 Вычислим x dx, используя определение определенного интеграла. 0 Разобьем промежуток [0; 1] на n равных частей длины Δxk = n1 и выберем вначале в качестве точки τk левый конец соответствующего промежутка τk = k−1 n , где k = 1, 2, . . . n, тогда интегральная сумма будет иметь вид n � n �n k−1 1 1 � S1 = f (τk )Δxk = · = 2· (k − 1) = k=1 k=1 n n n k=1 1 1 (n − 1)n = · (0 + 1 + 2 + · · · + (n − 1)) = · = n2 n2 2 (n − 1)n n − 1 = = 2n2 2n 6
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- …
- следующая ›
- последняя »