Математика. Часть 3. Карелина И.Г. - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

9.2. Свойства определенного интеграла
Пусть F (x) – первообразная функции f(x) на промежутке [a; b].
1. Определенный интеграл по промежутку нулевой длины равен нулю:
a
Z
a
f(x) dx = F (x)
a
a
= F (a) −F (a) = 0.
2. При перестановке пределов интегрирования значение определенного инте-
грала меняется на противоположное:
a
Z
b
f(x) dx = F (x)
a
b
= F (a) − F (b) =
= −(F (b) − F (a)) = −
b
Z
a
f(x) dx.
3. Пусть c ∈ [a; b], тогда определенный интеграл по промежутку [a; b ] равен
сумме определенных интегралов по промежуткам [a; c] и [; b] :
b
Z
a
f(x) dx = F (b) − F (a) = (F (b) − F (c)) + (F (c) − F (a)) =
= (F (c) − F (a)) + (F (b) − F (c)) =
c
Z
a
f(x) dx +
b
Z
c
f(x) dx.
4. Определенный интеграл от суммы (или разности) равен сумме (или разно-
сти) интегралов:
если функция F (x) есть первообразная функции f (x), а функция G(x) есть
первообразная функции g(x), то функция F (x) ± G(x) есть первообразная
функции f(x) ± g(x), поэтому
b
Z
a
(f(x) ± g(x)) dx = (F (b) ± G(b)) − (F (a) ± G(a)) =
= (F (b) − F (a)) ± (G(b) − G(a)) =
b
Z
a
f(x) dx ±
b
Z
a
g(x) dx.
8
9.2. Свойства определенного интеграла

Пусть F (x) – первообразная функции f (x) на промежутке [a; b].

1. Определенный интеграл по промежутку нулевой длины равен нулю:
                        �a                    �a
                                              �
                             f (x) dx = F (x)�� = F (a) − F (a) = 0.
                                                a
                        a

2. При перестановке пределов интегрирования значение определенного инте-
   грала меняется на противоположное:
                   �a                    �a
                                         �
                        f (x) dx = F (x)�� = F (a) − F (b) =
                                           b
                   b
                                                                �b
                                   = − (F (b) − F (a)) = −           f (x) dx.
                                                                a


3. Пусть c ∈ [a; b], тогда определенный интеграл по промежутку [a; b] равен
   сумме определенных интегралов по промежуткам [a; c] и [; b] :
         �b
              f (x) dx = F (b) − F (a) = (F (b) − F (c)) + (F (c) − F (a)) =
         a
                                                    �c                   �b
         = (F (c) − F (a)) + (F (b) − F (c)) =              f (x) dx +           f (x) dx.
                                                    a                    c

4. Определенный интеграл от суммы (или разности) равен сумме (или разно-
   сти) интегралов:
   если функция F (x) есть первообразная функции f (x), а функция G(x) есть
   первообразная функции g(x), то функция F (x) ± G(x) есть первообразная
   функции f (x) ± g(x), поэтому
          �b
               (f (x) ± g(x)) dx = (F (b) ± G(b)) − (F (a) ± G(a)) =
          a
                                                        �b                   �b
          = (F (b) − F (a)) ± (G(b) − G(a)) =                f (x) dx ±           g(x) dx.
                                                        a                    a




                                            8

Страницы