Математика. Часть 3. Карелина И.Г. - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

8. Между точками a и b найдется такая точка c, что
b
Z
a
f(x) dx = f(c)(b −a).
Пусть F (x) – первообразная функции f(x), то есть F
0
(x) = f(x). В силу
теоремы Лагранжа о конечном приращении, так как функция F (x) диффе-
ренцируема, найдется такая точка c ∈ [a; b], что выполняется равенcтво
b
Z
a
f(x) dx = F (b) − F (a) = F
0
(c)(b − a) = f(c)(b − a).
Точка c называется средним значением функции f(x) на промежутке
[a; b].
9. При a < b интеграл от положительной (неотрицательной) функции положи-
телен (неотрицателен):
пусть a < b, f(x) > 0 (f(x) ≥ 0), F (x) – первообразная функции f (x), то-
гда функция F (x) возрастает (не убывает) на [a; b], так как F
0
(x) = f (x) >
0 (≥ 0), поэтому
b
Z
a
f(x) dx = F (b) − F (a) > 0 (≥ 0).
10. Если для всех x ∈ [a; b] функции y = f(x) и y = g(x) удовлетворяют нера-
венству f(x) ≤ g(x) и
b
Z
a
f(x) dx,
b
Z
a
g(x) dx существуют, то
b
Z
a
f(x) dx ≤
b
Z
a
g(x) dx.
Доказательство.
В силу определения определенного интеграла рассмотрим произвольное раз-
биение отрезка [a; b] точками a ≤ x
0
< x
1
< ··· < x
n
= b. Так как 4x
i
=
x
i
− x
i−1
> 0 для всех i = 1, . . . , n, то для любой произвольно взятой точки
τ
i
∈ [x
i−1
; x
i
] имеют место неравенства
f(τ
1
) 4x
1
≤ g(τ
1
) 4x
1
,
. . .
f(τ
n
) 4x
n
≤ g(τ
n
) 4x
n
.
10
 8. Между точками a и b найдется такая точка c, что
                                    �b
                                         f (x) dx = f (c)(b − a).
                                    a

    Пусть F (x) – первообразная функции f (x), то есть F � (x) = f (x). В силу
    теоремы Лагранжа о конечном приращении, так как функция F (x) диффе-
    ренцируема, найдется такая точка c ∈ [a; b], что выполняется равенcтво
              �b
                   f (x) dx = F (b) − F (a) = F � (c)(b − a) = f (c)(b − a).
               a

    Точка c называется средним значением функции f (x) на промежутке
    [a; b].
 9. При a < b интеграл от положительной (неотрицательной) функции положи-
    телен (неотрицателен):
    пусть a < b, f (x) > 0 (f (x) ≥ 0), F (x) – первообразная функции f (x), то-
    гда функция F (x) возрастает (не убывает) на [a; b], так как F � (x) = f (x) >
    0 (≥ 0), поэтому
                         �b
                              f (x) dx = F (b) − F (a) > 0            (≥ 0).
                         a

10. Если для всех x ∈ [a; b] функции y = f (x) и y = g(x) удовлетворяют нера-
                           �b           �b
    венству f (x) ≤ g(x) и    f (x) dx,    g(x) dx существуют, то
                              a                a

                                    �b                �b
                                         f (x) dx ≤        g(x) dx.
                                    a                 a

   � Доказательство.
   В силу определения определенного интеграла рассмотрим произвольное раз-
биение отрезка [a; b] точками a ≤ x0 < x1 < · · · < xn = b. Так как �xi =
xi − xi−1 > 0 для всех i = 1, . . . , n, то для любой произвольно взятой точки
τi ∈ [xi−1 ; xi ] имеют место неравенства
                                  f (τ1 ) �x1 ≤ g(τ1 ) �x1 ,
                                              ...
                                  f (τn ) �xn ≤ g(τn ) �xn .

                                               10

Страницы