Математика. Часть 3. Карелина И.Г. - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

Аналогично интегралом с переменным нижним пределом от функции
f(x) называют
F (x) =
b
Z
x
f(t) dt,
где t ∈ [x; b] ⊂ [a; b].
Теорема. Производная от интеграла с переменным верхним пределом равна
значению подынтегральной функции от этого предела; производная от интеграла
с переменным нижним пределом равна значению подынтегральной функции от
этого предела, взятому с противоположным знаком
x
Z
a
f(t) dt
0
x
= f(x);
b
Z
x
f(t) dt
0
x
= −f(x).
Доказательство.
Пусть F (x) – первообразная функции f(x), по формуле Ньютона-Лейбница
справедливо равенство
x
Z
a
f(t) dt = F (x) −F (a),
где t ∈ [x; b] ⊂ [a; b].
Продифференцируем последнее равенство по переменной x, получим
x
Z
a
f(t) dt
0
x
= (F (x) −F (a))
0
x
= F
0
(x) = f(x),
так как F
0
x
(a) = 0, поскольку F (a) не зависит от x.
Аналогично
b
Z
x
f(t) dt = F (b) −F (x),
где t ∈ [a; x] ⊂ [a; b].
Дифференцируя последнее равенство по x, получим
b
Z
x
f(t) dt
0
x
= (F (b) −F (x))
0
x
= −F
0
(x) = −f(x),
так как F
0
x
(b) = 0, поскольку F (b) не зависит от x.
J
12
   Аналогично интегралом с переменным нижним пределом от функции
f (x) называют
                                 �b
                          F (x) = f (t) dt,
                                                x
где t ∈ [x; b] ⊂ [a; b].
   Теорема. Производная от интеграла с переменным верхним пределом равна
значению подынтегральной функции от этого предела; производная от интеграла
с переменным нижним пределом равна значению подынтегральной функции от
этого предела, взятому с противоположным знаком
               x        �            b       �
                �                       �
               f (t) dt = f (x);     f (t) dt = −f (x).
                   a         x                       x            x

  � Доказательство.
  Пусть F (x) – первообразная функции f (x), по формуле Ньютона-Лейбница
справедливо равенство
                             �x
                                      f (t) dt = F (x) − F (a),
                              a

где t ∈ [x; b] ⊂ [a; b].
   Продифференцируем последнее равенство по переменной x, получим
                   x       �
                    �
                   f (t) dt = (F (x) − F (a))�x = F � (x) = f (x),
                       a          x

так как Fx� (a) = 0, поскольку F (a) не зависит от x.
   Аналогично
                             �b
                                f (t) dt = F (b) − F (x),
                              x
где t ∈ [a; x] ⊂ [a; b].
   Дифференцируя последнее равенство по x, получим
                 b       �
                  �
                 f (t) dt = (F (b) − F (x))�x = −F � (x) = −f (x),
                  x          x

так как Fx� (b) = 0, поскольку F (b) не зависит от x.
   �

                                               12

Страницы