ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
9.4. Приложения определенного интеграла
Геометрические приложения определенного интеграла
С помощью определенного интеграла можно не только вычислить площадь
криволинейной трапеции, как это было показано в начале лекции, но и площадь
произвольной фигуры на плоскости, объема тела вращения, длину дуги. Оста-
новимся здесь лишь на вычислении площади фигуры на плоскости, для изуче-
ния других приложений заинтересованному читателю рекомендуем обратиться к
списку литературы, приведенной в конце пособия.
Пусть заданы две непрерывные функции y = f(x) и y = g(x), через a и b обо-
значим абсциссы их точек пересечения, причем для всех x ∈ [a, b] : f(x) ≥ g(x).
Тогда для нахождения площади фигуры на плоскости, образованной графиками
этих функций, используется формула
S =
b
Z
a
(f(x) − g(x)) dx.
Применение определенного интеграла в физике
Пусть известен закон изменения мгновенной скорости v = v(t) при движении
точки за время от t = α до t = β. Поскольку движение не предполагается рав-
номерным, мы не можем вычислять путь как произведение скорости на истек-
шее время. Однако, так как мгновенная скорость есть производная от функции
пути s = s(t), пройденного точкой, функция s = s (t) является первообразной
для функции v = v(t). Поэтому, используя формулу Ньютона-Лейбница, можно
найти расстояние, пройденное точкой за время от t = α до t = β, то есть
s(β) − s(α) =
β
Z
α
v(t) dt.
Применение определенного интеграла в биологии
С помощью определенного интеграла можно, например, найти численность
популяции. Число особей в популяции меняется со временем. Если условия су-
ществования благоприятные, то рождаемость превышает смертность, и попу-
ляция растет со временем. Обозначим через v(t) прирост популяции в единицу
времени. Найдем прирост популяции за время от t = α до t = β. Обозначим
через N(t) численность популяции в момент времени t, тогда
N(β) −N(α) =
β
Z
α
v(t) dt.
13
9.4. Приложения определенного интеграла Геометрические приложения определенного интеграла С помощью определенного интеграла можно не только вычислить площадь криволинейной трапеции, как это было показано в начале лекции, но и площадь произвольной фигуры на плоскости, объема тела вращения, длину дуги. Оста- новимся здесь лишь на вычислении площади фигуры на плоскости, для изуче- ния других приложений заинтересованному читателю рекомендуем обратиться к списку литературы, приведенной в конце пособия. Пусть заданы две непрерывные функции y = f (x) и y = g(x), через a и b обо- значим абсциссы их точек пересечения, причем для всех x ∈ [a, b] : f (x) ≥ g(x). Тогда для нахождения площади фигуры на плоскости, образованной графиками этих функций, используется формула �b S= (f (x) − g(x)) dx. a Применение определенного интеграла в физике Пусть известен закон изменения мгновенной скорости v = v(t) при движении точки за время от t = α до t = β. Поскольку движение не предполагается рав- номерным, мы не можем вычислять путь как произведение скорости на истек- шее время. Однако, так как мгновенная скорость есть производная от функции пути s = s(t), пройденного точкой, функция s = s(t) является первообразной для функции v = v(t). Поэтому, используя формулу Ньютона-Лейбница, можно найти расстояние, пройденное точкой за время от t = α до t = β, то есть �β s(β) − s(α) = v(t) dt. α Применение определенного интеграла в биологии С помощью определенного интеграла можно, например, найти численность популяции. Число особей в популяции меняется со временем. Если условия су- ществования благоприятные, то рождаемость превышает смертность, и попу- ляция растет со временем. Обозначим через v(t) прирост популяции в единицу времени. Найдем прирост популяции за время от t = α до t = β. Обозначим через N (t) численность популяции в момент времени t, тогда �β N (β) − N (α) = v(t) dt. α 13
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 11
- 12
- 13
- 14
- 15
- …
- следующая ›
- последняя »