Математика. Часть 3. Карелина И.Г. - 13 стр.

UptoLike

Составители: 

Рубрика: 

9.4. Приложения определенного интеграла
Геометрические приложения определенного интеграла
С помощью определенного интеграла можно не только вычислить площадь
криволинейной трапеции, как это было показано в начале лекции, но и площадь
произвольной фигуры на плоскости, объема тела вращения, длину дуги. Оста-
новимся здесь лишь на вычислении площади фигуры на плоскости, для изуче-
ния других приложений заинтересованному читателю рекомендуем обратиться к
списку литературы, приведенной в конце пособия.
Пусть заданы две непрерывные функции y = f(x) и y = g(x), через a и b обо-
значим абсциссы их точек пересечения, причем для всех x [a, b] : f(x) g(x).
Тогда для нахождения площади фигуры на плоскости, образованной графиками
этих функций, используется формула
S =
b
Z
a
(f(x) g(x)) dx.
Применение определенного интеграла в физике
Пусть известен закон изменения мгновенной скорости v = v(t) при движении
точки за время от t = α до t = β. Поскольку движение не предполагается рав-
номерным, мы не можем вычислять путь как произведение скорости на истек-
шее время. Однако, так как мгновенная скорость есть производная от функции
пути s = s(t), пройденного точкой, функция s = s (t) является первообразной
для функции v = v(t). Поэтому, используя формулу Ньютона-Лейбница, можно
найти расстояние, пройденное точкой за время от t = α до t = β, то есть
s(β) s(α) =
β
Z
α
v(t) dt.
Применение определенного интеграла в биологии
С помощью определенного интеграла можно, например, найти численность
популяции. Число особей в популяции меняется со временем. Если условия су-
ществования благоприятные, то рождаемость превышает смертность, и попу-
ляция растет со временем. Обозначим через v(t) прирост популяции в единицу
времени. Найдем прирост популяции за время от t = α до t = β. Обозначим
через N(t) численность популяции в момент времени t, тогда
N(β) N(α) =
β
Z
α
v(t) dt.
13
  9.4. Приложения определенного интеграла

   Геометрические приложения определенного интеграла
   С помощью определенного интеграла можно не только вычислить площадь
криволинейной трапеции, как это было показано в начале лекции, но и площадь
произвольной фигуры на плоскости, объема тела вращения, длину дуги. Оста-
новимся здесь лишь на вычислении площади фигуры на плоскости, для изуче-
ния других приложений заинтересованному читателю рекомендуем обратиться к
списку литературы, приведенной в конце пособия.
   Пусть заданы две непрерывные функции y = f (x) и y = g(x), через a и b обо-
значим абсциссы их точек пересечения, причем для всех x ∈ [a, b] : f (x) ≥ g(x).
Тогда для нахождения площади фигуры на плоскости, образованной графиками
этих функций, используется формула
                                �b
                           S=        (f (x) − g(x)) dx.
                                a

   Применение определенного интеграла в физике
   Пусть известен закон изменения мгновенной скорости v = v(t) при движении
точки за время от t = α до t = β. Поскольку движение не предполагается рав-
номерным, мы не можем вычислять путь как произведение скорости на истек-
шее время. Однако, так как мгновенная скорость есть производная от функции
пути s = s(t), пройденного точкой, функция s = s(t) является первообразной
для функции v = v(t). Поэтому, используя формулу Ньютона-Лейбница, можно
найти расстояние, пройденное точкой за время от t = α до t = β, то есть
                                              �β
                            s(β) − s(α) =          v(t) dt.
                                              α

   Применение определенного интеграла в биологии
   С помощью определенного интеграла можно, например, найти численность
популяции. Число особей в популяции меняется со временем. Если условия су-
ществования благоприятные, то рождаемость превышает смертность, и попу-
ляция растет со временем. Обозначим через v(t) прирост популяции в единицу
времени. Найдем прирост популяции за время от t = α до t = β. Обозначим
через N (t) численность популяции в момент времени t, тогда
                                              �β
                           N (β) − N (α) =          v(t) dt.
                                               α




                                         13