Математика. Часть 3. Карелина И.Г. - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

Складывая их почленно, получим
X
_i = 1
n
f(τ
i
) 4x
i
≤
n
X
i=1
f(τ
i
) 4x
i
.
После перехода к пределу при max 4x
i
→ 0 получаем
b
Z
a
f(x) dx ≤
b
Z
a
g(x) dx.
J
9.3. Интеграл с переменным верхним (нижним) пределом
Очевидно, значение определенного интеграла не зависит от обозначения пе-
ременной интегрирования, то есть
b
Z
a
f(x) dx =
b
Z
a
f(t) dt =
b
Z
a
f(τ) dτ.
Это следует, например, из геометрического смысла интеграла, так как выпи-
санные интегралы определяют площадь одной и той же криволинейной трапе-
ции.
Приведем здесь без доказательства два факта.
1. Для каждой непрерывной на (a; b) функции f(x) существует функция F (x),
такая, что F
0
(x) = f(x) на (a; b), то есть непрерывная на интервале функ-
ция имеет на нем первообразную, а значит, существует неопределенный ин-
теграл
Z
f(x) dx = F (x) + C,
где C – произвольная постоянная.
2. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a; b], то существует соответ-
ствующий определенный интеграл.
Рассмотрим непрерывную на отрезке [a; b] функцию f(t). Определим функ-
цию
F (x) =
x
Z
a
f(t) dt,
где t ∈ [a; x] ⊂ [a; b]. Последний интеграл называют интегралом с перемен-
ным верхним пределом от функции f(x).
11
Складывая их почленно, получим
                     �                                  n
                                                        �
                                   n
                           _i = 1 f (τi ) �xi ≤                f (τi ) �xi .
                                                        i=1

После перехода к пределу при max �xi → 0 получаем
                              �b                   �b
                                   f (x) dx ≤           g(x) dx.
                              a                    a

  �

  9.3. Интеграл с переменным верхним (нижним) пределом

  Очевидно, значение определенного интеграла не зависит от обозначения пе-
ременной интегрирования, то есть
                      �b                �b                 �b
                           f (x) dx =        f (t) dt =         f (τ ) dτ.
                      a                 a                  a

   Это следует, например, из геометрического смысла интеграла, так как выпи-
санные интегралы определяют площадь одной и той же криволинейной трапе-
ции.
   Приведем здесь без доказательства два факта.
 1. Для каждой непрерывной на (a; b) функции f (x) существует функция F (x),
    такая, что F � (x) = f (x) на (a; b), то есть непрерывная на интервале функ-
    ция имеет на нем первообразную, а значит, существует неопределенный ин-
    теграл                      �
                                       f (x) dx = F (x) + C,
      где C – произвольная постоянная.


 2. Если функция f (x) непрерывна на отрезке [a; b], то существует соответ-
    ствующий определенный интеграл.
  Рассмотрим непрерывную на отрезке [a; b] функцию f (t). Определим функ-
цию
                                  �x
                          F (x) = f (t) dt,
                                              a
где t ∈ [a; x] ⊂ [a; b]. Последний интеграл называют интегралом с перемен-
ным верхним пределом от функции f (x).

                                              11

Страницы