Математика. Часть 3. Карелина И.Г. - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

5. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:
если функция F (x) есть первообразная функции f(x), то функция kF (x)
есть первообразная функции kf(x), где k = const, поэтому
b
Z
a
kf(x) dx = kF (b) −k(F (a) = k (F (b) − F (a)) = k
b
Z
a
f(x) dx.
6. Формула интегрирования по частям для определенного интеграла по-
лучается из соответствующей формулы для неопределенного интеграла:
b
Z
a
u dv = uv
b
a
−
b
Z
a
v du.
Пример
2
Z
1
ln x dx =
"
u = ln x, dv = dx
du =
dx
x
, v = x
#
=
=
2
Z
1
ln x dx =
x ln x
!
2
1
−
2
Z
1
x ·
dx
x
= 2 ln 2 − x
2
1
= 2 ln 2 − 1.
7. Для любой дифференцируемой функции ϕ(t) (a = ϕ(α), b = ϕ (β)) справед-
лива формула замены переменной:
β
Z
α
f(ϕ(t)) ϕ
0
(t) dt =
b
Z
a
f(x) dx.
Пусть F (x) – первообразная функции f(x), ϕ(t) – некоторая дифферен-
цируемая функция, причем a = ϕ(α), b = ϕ(β). Тогда функция, как было
показано в предыдущей лекции, Φ(t) = F (ϕ(t)) является первообразной
для функции f(ϕ(t)) ϕ
0
(t), откуда по определению определенного интеграла
получаем
β
Z
α
f(ϕ(t)) ϕ
0
(t) dt = Φ(β) − Φ(α) = F (ϕ(β)) − F (ϕ(α)) =
= F (b) − F (a) =
b
Z
a
f(x) dx.
9
5. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:
   если функция F (x) есть первообразная функции f (x), то функция kF (x)
   есть первообразная функции kf (x), где k = const, поэтому
         �b                                                     �b
            kf (x) dx = kF (b) − k(F (a) = k (F (b) − F (a)) = k f (x) dx.
        a                                                                            a

6. Формула интегрирования по частям для определенного интеграла по-
   лучается из соответствующей формулы для неопределенного интеграла:
                           �b            �b � b
                                         �
                              u dv = uv �� − v du.
                                                      a
                                      a                     a


  Пример

       �2                       �                           �
                                    u = ln x, dv = dx
            ln x dx =                     dx                    =
                                    du =     , v=x
        1                                  x
            �2                  �         ��2 �2                               �2
                                           �       dx                          �
                                           �
       =            ln x dx =       x ln x � − x ·    = 2 ln 2 −             x�� = 2 ln 2 − 1.
                                           �        x                            1
            1                                 1   1


7. Для любой дифференцируемой функции ϕ(t) (a = ϕ(α), b = ϕ(β)) справед-
   лива формула замены переменной:

                                �β                          �b
                                     f (ϕ(t)) ϕ� (t) dt =        f (x) dx.
                                α                           a

  Пусть F (x) – первообразная функции f (x), ϕ(t) – некоторая дифферен-
  цируемая функция, причем a = ϕ(α), b = ϕ(β). Тогда функция, как было
  показано в предыдущей лекции, Φ(t) = F (ϕ(t)) является первообразной
  для функции f (ϕ(t)) ϕ� (t), откуда по определению определенного интеграла
  получаем
            �β
                     f (ϕ(t)) ϕ� (t) dt = Φ(β) − Φ(α) = F (ϕ(β)) − F (ϕ(α)) =
                α
                                                                �b
                                          = F (b) − F (a) =          f (x) dx.
                                                                 a


                                                  9

Страницы