Математика. Часть 3. Карелина И.Г. - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

Выберем теперь в качестве точки τ
k
правый конец соответствующего проме-
жутка τ
k
=
k
n
, где k = 1, 2, . . . n, тогда интегральная сумма будет иметь вид
S
2
=
n
P
k=1
f(τ
k
)∆x
k
=
n
P
k=1
k
n
·
1
n
=
1
n
2
·
n
X
k=1
k =
=
1
n
2
· (1 + 2 + ··· + n) =
1
n
2
·
n(n + 1)
2
=
=
(n − 1)n
2n
2
=
n + 1
2n
Переходя теперь к пределу при измельчении отрезка [0; 1], то есть при
1
n
→ 0
или n → ∞ в суммах S
1
и S
2
, получаем одно и то же значение
lim
n→∞
S
1
= lim
n→∞
S
2
=
1
2
.
Пусть F (x) – какая-нибудь первообразная функции y = f(x) на отрезке
[a; b]. Тогда имеет место формула Ньютона-Лейбница
b
Z
a
f(x) dx = F (x)
b
a
= F (b) − F (a).
Пример
Вычислим следующие определенные интегралы, используя формулу
Ньютона-Лейбница:
1)
1
Z
0
x dx =
x
2
2
1
0
=
1
2
− 0 =
1
2
; 2)
2
Z
1
dx
x
= ln x
2
1
= ln 2 − 0;
3)
π
Z
0
cos x dx = sin
π
0
= 0 − 0 = 0;
4)
ln 2
Z
0
e
x
dx = e
x
ln 2
0
= e
ln 2
− e
0
= 1.
7
  Выберем теперь в качестве точки τk правый конец соответствующего проме-
жутка τk = nk , где k = 1, 2, . . . n, тогда интегральная сумма будет иметь вид
                                                           n
                             �
                             n              �n k 1      1 �
                   S2   =     f (τk )Δxk =        · = 2·      k=
                          k=1               k=1 n  n   n
                                                          k=1
                           1                         1 n(n + 1)
                        = 2 · (1 + 2 + · · · + n) = 2 ·         =
                          n                          n    2
                             (n − 1)n n + 1
                        =            =
                                2n2    2n

                                                                       1
  Переходя теперь к пределу при измельчении отрезка [0; 1], то есть при → 0
                                                                       n
или n → ∞ в суммах S1 и S2 , получаем одно и то же значение
                                                     1
                                    lim S1 = lim S2 = .
                                   n→∞       n→∞     2
    Пусть F (x) – какая-нибудь первообразная функции y = f (x) на отрезке
[a; b]. Тогда имеет место формула Ньютона-Лейбница
                         �b                    �b
                                               �
                              f (x) dx = F (x)�� = F (b) − F (a).
                                                  a
                         a


  Пример
  Вычислим следующие               определенные           интегралы,   используя   формулу
Ньютона-Лейбница:
             �1             �1          �2           �2
                        x2 ��  1  1        dx        �
        1)        x dx = � = − 0 = ; 2)       = ln x�� = ln 2 − 0;
                        2 0 2     2         x          1
             0                                            1




                              �π                  �π
                                                  �
                        3)         cos x dx = sin�� = 0 − 0 = 0;
                                                      0
                              0



                           �ln 2            �ln 2
                                            �
                        4)      ex dx = ex �� = eln 2 − e0 = 1.
                                              0
                               0




                                              7

Страницы