Математика. Часть 3. Карелина И.Г. - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

9.5. Несобственный интеграл
Пусть функция y = f(x) задана на луче [a; +∞) и непрерывна на нем. Инте-
грал
+∞
Z
a
f(x) dx = lim
b→+∞
b
Z
a
f(x) dx
называют несобственным интегралом по бесконечному промежутку.
Если предел в последнем равенстве существует и конечен, то несобственный
интеграл называют сходящимся, в противном случае – расходящимся.
Пример
Вычислим несобственный интеграл
+∞
Z
0
e
−x
dx = lim
b→+∞
b
Z
0
e
−x
dx = lim
b→+∞
(−e
−x
)
b
0
= lim
b→+∞
(−e
−b
+ 1) = 1
9.6. Упражнения
Задание 9.1. Найдите значение определенного интеграла как предела инте-
гральных сумм, разбивая соответствующий отрезок на n равных частей и выби-
рая в каждой из них в качестве точки τ
k
сначала левый, а затем правый конец
соответствующего отрезка
1)
1
Z
0
x dx 2)
x
Z
0
t dt 3)
2
Z
1
x
2
dx 4)
x
Z
1
t
2
dt
5)
2
Z
0
(2x + 1) dx 6)
x
Z
0
(1 − t) dt 7)
2
Z
−1
(x
2
+ 1) dx
Примечание. При вычислении интегральных сумм используйте равенства
n
X
k=1
k =
n(n + 1)
2
;
n
X
k=1
k
2
=
n(n + 1)(2n + 1)
6
.
Задание 9.2. Вычислите интегралы
а) с помощью формулы Ньютона-Лейбница
1)
2
Z
−1
x
3
dx 2)
2π
Z
0
sin x dx 3)
1
Z
−1
2
x
dx 4)
π
Z
0
cos x dx
14
  9.5. Несобственный интеграл

   Пусть функция y = f (x) задана на луче [a; +∞) и непрерывна на нем. Инте-
грал
                        �+∞                 �b
                            f (x) dx = lim     f (x) dx
                                                             b→+∞
                                   a                                   a
называют несобственным интегралом по бесконечному промежутку.
   Если предел в последнем равенстве существует и конечен, то несобственный
интеграл называют сходящимся, в противном случае – расходящимся.

  Пример
  Вычислим несобственный интеграл
      �+∞             �b
                                             �b
         e−x dx = lim    e−x dx = lim (−e−x )�0 = lim (−e−b + 1) = 1
                        b→+∞                           b→+∞                             b→+∞
      0                        0


  9.6. Упражнения

   Задание 9.1. Найдите значение определенного интеграла как предела инте-
гральных сумм, разбивая соответствующий отрезок на n равных частей и выби-
рая в каждой из них в качестве точки τk сначала левый, а затем правый конец
соответствующего отрезка

                 �1                          �x                         �2                          �x
           1)         x dx             2)         t dt            3)            x2 dx          4)        t2 dt
                 0                           0                             1                        1
                �2                                     �x                                 �2
           5)        (2x + 1) dx                  6)         (1 − t) dt             7)         (x2 + 1) dx
                 0                                       0                                −1
  Примечание. При вычислении интегральных сумм используйте равенства
                n
                �                                             n
                                                              �
                         n(n + 1)                                                n(n + 1)(2n + 1)
                      k=          ;                                    k2 =                       .
                            2                                                           6
                k=1                                            k=1


  Задание 9.2. Вычислите интегралы
  а) с помощью формулы Ньютона-Лейбница
           �2                          �2π                                 �1                       �π
      1)        x3 dx        2)              sin x dx             3)            2x dx          4)        cos x dx
           −1                          0                                   −1                       0

                                                             14

Страницы