ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
Положим ∆y = 0, получим
∆
x
z = A∆x + α(∆x),
поделим обе части равенства на ∆x, получим
∆
x
z
∆x
= A + α(∆x),
откуда при ∆x → 0 получим
lim
∆x→0
∆
x
z
∆x
=
∂f
∂x
= lim
∆x→0
(A + α(∆x)) = A.
Аналогично, полагая ∆x = 0 в формуле полного дифференциала, находим
lim
∆y→0
∆
y
z
∆y
=
∂f
∂y
= lim
∆y→0
(B + β(∆y)) = B.
Подставляя найденные для A и B значения в формулу для dz и полагая диф-
ференциалы независимых переменных x и y равными их приращениям, получаем
формулу
dz =
∂f
∂x
dx +
∂f
∂y
dy.
J
Из определения полного дифференицала функции z = f(x; y) и теоремы
получаем формулу для нахождения приближенного значения функции в точке
(x + ∆x; y + ∆y), зная ее значение в точке (x; y)
∆z ≈
∂f
∂x
∆x +
∂f
∂y
∆y,
откуда
f(x + ∆x; y + ∆y) − f (x; y) ≈
∂f
∂x
∆x +
∂f
∂y
∆y,
f(x + ∆x; y + ∆y) ≈ f (x; y) +
∂f
∂x
∆x +
∂f
∂y
∆y.
Пример
Найдем значение выражение
p
(1, 1)
2
+ (0, 8)
2
.
Положим x = 1, y = 1, ∆x = 0, 1, ∆y = −0, 2.
Рассмотрим функцию z =
p
x
2
+ y
2
, найдем ее частные производные
z
0
x
=
x
p
x
2
+ y
2
, z
0
y
=
y
p
x
2
+ y
2
.
63
Положим Δy = 0, получим
Δx z = AΔx + α(Δx),
поделим обе части равенства на Δx, получим
Δx z
= A + α(Δx),
Δx
откуда при Δx → 0 получим
Δx z ∂f
lim = = lim (A + α(Δx)) = A.
Δx→0 Δx ∂x Δx→0
Аналогично, полагая Δx = 0 в формуле полного дифференциала, находим
Δy z ∂f
lim = = lim (B + β(Δy)) = B.
Δy→0 Δy ∂y Δy→0
Подставляя найденные для A и B значения в формулу для dz и полагая диф-
ференциалы независимых переменных x и y равными их приращениям, получаем
формулу
∂f ∂f
dz = dx + dy.
∂x ∂y
�
Из определения полного дифференицала функции z = f (x; y) и теоремы
получаем формулу для нахождения приближенного значения функции в точке
(x + Δx; y + Δy), зная ее значение в точке (x; y)
∂f ∂f
Δz ≈ Δx + Δy,
∂x ∂y
откуда
∂f ∂f
f (x + Δx; y + Δy) − f (x; y) ≈ Δx + Δy,
∂x ∂y
∂f ∂f
f (x + Δx; y + Δy) ≈ f (x; y) + Δx + Δy.
∂x ∂y
Пример
�
Найдем значение выражение (1, 1)2 + (0, 8)2 .
Положим x = 1, y = 1, Δx�
= 0, 1, Δy = −0, 2.
Рассмотрим функцию z = x2 + y 2 , найдем ее частные производные
x y
zx� = � , zy� = � .
x2 + y 2 x2 + y 2
63
