Математика. Часть 3. Карелина И.Г. - 61 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

13.3. Частные производные
Пусть точки (x; y), (x + ∆x; y), (x; y + ∆y), (x + ∆x; y + ∆y) принадлежат
области определения функции z = f(x; y). Если существует конечный предел
отношения ча стного приращения ∆
x
z функции z = f (x; y) по переменной x к
приращению ∆x при ∆x → 0
lim
∆x→0
∆
x
z
∆x
= lim
∆x→0
f(x + ∆x; y) − f(x; y)
∆x
,
то его называют частной производной функции f(x; y) по переменной x и обо-
значают
∂f
∂x
= f
0
x
(x; y).
Аналогично определяется частная производная функции f(x; y) по перемен-
ной y как предел отношения частного приращения ∆
y
z функции z = f (x; y) по
переменной y к приращению ∆y при ∆y → 0
lim
∆y→0
∆
y
z
∆y
= lim
∆y→0
f(x; y + ∆y) − f(x; y)
∆y
=
∂f
∂y
= f
0
y
(x; y).
Для вычисления частных производных от функции двух переменных исполь-
зуются те же правила, что и для вычисления производных от функции одной пе-
ременной. Для нахождения частной производной функции f(x; y) по переменной
x переменную y фиксируют, считая ее постоянной; для нахождения частной про-
изводной функции f(x; y) по переменной y переменную x фиксируют, считая ее
постоянной.
Пример
1. Вычислим частные производные функции z = x
2
sin y.
Зафиксируем переменную y, считая ее постоянной величиной, тогда величина
sin y также является постоянной, поэтому при вычислении производной функции
z по переменной x множитель sin y можно вынести за знак производной
∂z
∂x
= sin y ·(x
2
)
0
= 2x sin y.
Аналогично рассуждая, находим производную функции z по переменной y
∂z
∂y
= x
2
· (sin y)
0
= x
2
cos y.
2. Вычислим частные производные функции z = x
2
+ y
3
− 2xy.
Фиксируя переменную y, находим частную производную функции по пере-
менной x
∂z
∂x
= 2x − 2y,
61
  13.3. Частные производные

   Пусть точки (x; y), (x + Δx; y), (x; y + Δy), (x + Δx; y + Δy) принадлежат
области определения функции z = f (x; y). Если существует конечный предел
отношения частного приращения Δx z функции z = f (x; y) по переменной x к
приращению Δx при Δx → 0
                       Δx z       f (x + Δx; y) − f (x; y)
                   lim      = lim                          ,
                  Δx→0 Δx    Δx→0           Δx
то его называют частной производной функции f (x; y) по переменной x и обо-
значают
                              ∂f
                                  = fx� (x; y).
                               ∂x
   Аналогично определяется частная производная функции f (x; y) по перемен-
ной y как предел отношения частного приращения Δy z функции z = f (x; y) по
переменной y к приращению Δy при Δy → 0
               Δy z       f (x; y + Δy) − f (x; y) ∂f
           lim      = lim                         =    = fy� (x; y).
          Δy→0 Δy    Δy→0           Δy              ∂y
   Для вычисления частных производных от функции двух переменных исполь-
зуются те же правила, что и для вычисления производных от функции одной пе-
ременной. Для нахождения частной производной функции f (x; y) по переменной
x переменную y фиксируют, считая ее постоянной; для нахождения частной про-
изводной функции f (x; y) по переменной y переменную x фиксируют, считая ее
постоянной.

  Пример
   1. Вычислим частные производные функции z = x2 sin y.
   Зафиксируем переменную y, считая ее постоянной величиной, тогда величина
sin y также является постоянной, поэтому при вычислении производной функции
z по переменной x множитель sin y можно вынести за знак производной
                         ∂z
                            = sin y · (x2 )� = 2x sin y.
                         ∂x
Аналогично рассуждая, находим производную функции z по переменной y
                         ∂z
                            = x2 · (sin y)� = x2 cos y.
                         ∂y
  2. Вычислим частные производные функции z = x2 + y 3 − 2xy.
  Фиксируя переменную y, находим частную производную функции по пере-
менной x
                             ∂z
                                = 2x − 2y,
                             ∂x
                                       61

Страницы