Математика. Часть 3. Карелина И.Г. - 60 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

13.2. Непрерывность функции двух переменных
Как уже было отмечено, если у функции двух переменных зафиксировать одну
из переменных, например, переменную y, то мы получаем зависимость только от
одной переменной x.
Пусть точки (x; y), (x + ∆x; y), (x; y + ∆y), (x + ∆x; y + ∆y) принадлежат
области определения функции z = f(x; y).
Рассмотрим приращение ∆
x
z функции z = f(x; y), если переменная x полу-
чает приращение ∆x, а переменная y остается неизменной (то есть фиксирована)
∆
x
z = f(x + ∆x; y) − f (x; y),
его называют частным приращением по переменной x функции z.
Рассмотрим приращение ∆
y
z функции z = f(x; y), если переменная y полу-
чает приращение ∆y, а переменная x остается неизменной (то есть фиксирована)
∆
y
z = f(x; y + ∆y) − f(x; y),
его называют частным приращением по переменной y функции z.
Наконец, может оказаться, что обе переменные x и y получили приращение
соответственно ∆x и ∆y, тогда соответствующее приращение функции
∆z = f(x + ∆x; y + ∆y) − f(x; y)
называют полным приращением (или приращением) функции z.
Пример
Найдем частные и полное приращение функции f(x; y) = xy в точке (2; 1),
если ∆x = 0, 1, ∆y = −0, 1.
∆
x
z = f(x + ∆x; y) − f (x; y) = 2, 1 · 1 − 2 ·1 = 0, 1,
∆
y
z = f(x; y + ∆y) − f(x; y) = 2 · 0, 9 −2 · 1 = −0, 2,
∆z = f(x + ∆x; y + ∆y) − f(x; y) = 2, 1 · 0, 9 − 2 · 1 = −0, 11.
Таким образом, замечаем, что ∆z 6= ∆
x
z + ∆
y
z.
Функция двух переменных z = f(x; y) называется непрерывной в точке
(x
0
; y
0
), если она определена в этой точке и бесконечно малым приращениям
аргументов ∆x = x −x
0
, ∆y = y −y
0
переменных x, y соответствует бесконечно
малое приращение функции ∆z.
60
  13.2. Непрерывность функции двух переменных

   Как уже было отмечено, если у функции двух переменных зафиксировать одну
из переменных, например, переменную y, то мы получаем зависимость только от
одной переменной x.
  Пусть точки (x; y), (x + Δx; y), (x; y + Δy), (x + Δx; y + Δy) принадлежат
области определения функции z = f (x; y).
   Рассмотрим приращение Δx z функции z = f (x; y), если переменная x полу-
чает приращение Δx, а переменная y остается неизменной (то есть фиксирована)

                         Δx z = f (x + Δx; y) − f (x; y),

его называют частным приращением по переменной x функции z.
   Рассмотрим приращение Δy z функции z = f (x; y), если переменная y полу-
чает приращение Δy, а переменная x остается неизменной (то есть фиксирована)

                         Δy z = f (x; y + Δy) − f (x; y),

его называют частным приращением по переменной y функции z.
  Наконец, может оказаться, что обе переменные x и y получили приращение
соответственно Δx и Δy, тогда соответствующее приращение функции

                       Δz = f (x + Δx; y + Δy) − f (x; y)

называют полным приращением (или приращением) функции z.

  Пример

   Найдем частные и полное приращение функции f (x; y) = xy в точке (2; 1),
если Δx = 0, 1, Δy = −0, 1.
        Δx z = f (x + Δx; y) − f (x; y) = 2, 1 · 1 − 2 · 1 = 0, 1,
        Δy z = f (x; y + Δy) − f (x; y) = 2 · 0, 9 − 2 · 1 = −0, 2,
        Δz = f (x + Δx; y + Δy) − f (x; y) = 2, 1 · 0, 9 − 2 · 1 = −0, 11.

Таким образом, замечаем, что Δz �= Δx z + Δy z.
   Функция двух переменных z = f (x; y) называется непрерывной в точке
(x0 ; y0 ), если она определена в этой точке и бесконечно малым приращениям
аргументов Δx = x − x0 , Δy = y − y0 переменных x, y соответствует бесконечно
малое приращение функции Δz.



                                         60

Страницы