Математика. Часть 3. Карелина И.Г. - 58 стр.

  Лекция 13.
  ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
  13.1. Основные понятия
  13.2. Непрерывность функции двух переменных
  13.3. Частные производные
  13.4. Полный дифференциал
  13.5. Упражнения

  13.1. Основные понятия

  Рассмотрим несколько примеров.
   1. В медицине дозировка лекарств часто рассчитывается, исходя из площа-
ди поверхности тела человека, для вычисления которой используется формула
      1 √
S = 60    xy, где x – рост человека, y – масса его тела. Тогда площадь поверх-
ности тела есть функция двух перменных – роста и массы тела. Причем, если
фиксировать один из параметров, например, рост, то мы получим площадь по-
верхности тела как функцию одной переменной – массы тела.
   2. Из геометрии известна формула для нахождения объема параллелепипе-
да V = abc, где a, b, c – линейные размеры параллелепипеда – длина, шири-
на, высота. Очевидно, что изменение линейных размеров приведет к изменению
объема всего параллелепипеда. Поэтому объем параллелепипеда есть функция
трех переменных. Если зафиксировать, например, высоту, то мы получим зави-
симость объема от двух переменных – длины и ширины, если зафиксировать две
переменные, например, высоту и ширину, то получим зависимость объема толь-
ко от длины, то есть функцию одной переменной.
  Рассмотрим отображение f : X −→ Y, где X ⊂ Rn , Y ⊂ R, его называют
функцией n переменных, множество X – область определения функции f.
  Элементы множества X ⊂ Rn , то есть x = (x1 , x2 , . . . , xn ), называют аргу-
ментами функции f, числа y = f (x1 , x2 , . . . , xn ) – значениями функции.
  Заметим, что всякая функция n переменных, если зафиксировать несколько
переменных, становится функцией меньшего числа переменных.
   Строго говоря, почти всякая зависимость, описывающая реальную ситуацию,
есть функция весьма большого числа переменных. При изучении этой зависи-
мости мы часто игнорируем часть несущественных переменных, заменяя их кон-
стантами, тем самым ограничивая число переменных.



                                       58