Математика. Часть 3. Карелина И.Г. - 57 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

Задание 12.4. Решите следующие геометрические задачи, используя элемен-
ты векторной алгебры.
1. Пусть A, B – середины сторон BC, CD параллелограмма ABCD. Выра-
зить векторы
−−→
BD,
−−→
AD через векторы
−−→
AK,
−−→
AM.
2. В трапеции ABCD длины оснований BC и AD связаны соотношением
BC = 3AD. Диагонали трапеции пересечкаются в точке O. Выразить вектор
−→
AO через векторы
−−−→
ABD,
−−→
AD.
3. В треугольнике ABC заданы радиус-векторы вершин треугольника r
A
=
e
1
+2
e
2
+3
e
3
, r
B
= 3
e
1
+2
e
2
+
e
3
, r
C
=
e
1
+4
e
2
+
e
3
. Показать, что треуголь-
ник ABC равносторонний.
4. Известно, что
−→
AB =
x
+2
y
,
−−→
BC = −4
x
−
y
,
−−→
CD = −5
x
−3
y
. Докажите,
что ABCD – трапеция.
Задание 12.5. Проверьте, является ли линейным пространством мно-
жество наборов из четырех действительных чисел (u
1
; u
2
; 0; 0), (v
1
; v
2
; 0; 0),
(w
1
; w
2
; 0; 0), здесь u
1
; u
2
; v
1
; v
2
; w
1
; w
2
– всевозможные действительные чис-
ла (сложение элементов множества и умножение на число определено покоор-
динатно).
57
   Задание 12.4. Решите следующие геометрические задачи, используя элемен-
ты векторной алгебры.

   1. Пусть A, B – середины сторон BC, CD параллелограмма ABCD. Выра-
             −−→ −−→               −−→ −−→
зить векторы BD, AD через векторы AK, AM .

  2. В трапеции ABCD длины оснований BC и AD связаны соотношением
BC = 3AD. Диагонали трапеции пересечкаются в точке O. Выразить вектор
−→               −−−→ −−→
AO через векторы ABD, AD.

   3. В треугольнике ABC заданы радиус-векторы вершин треугольника rA =
e1 +2 e2 +3 e3 , rB = 3 e1 +2 e2 + e3 , rC = e1 +4 e2 + e3 . Показать, что треуголь-
ник ABC равносторонний.

                    −→           −−→            −−→
   4. Известно, что AB = x +2 y, BC = −4 x − y, CD = −5 x −3 y . Докажите,
что ABCD – трапеция.


   Задание 12.5. Проверьте, является ли линейным пространством мно-
жество наборов из четырех действительных чисел (u1 ; u2 ; 0; 0), (v1 ; v2 ; 0; 0),
(w1 ; w2 ; 0; 0), здесь u1 ; u2 ; v1 ; v2 ; w1 ; w2 – всевозможные действительные чис-
ла (сложение элементов множества и умножение на число определено покоор-
динатно).




                                         57

Страницы