Математика. Часть 3. Карелина И.Г. - 55 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

2. Пусть теперь вектор
x
1
есть линейная комбинация m − 1 векторов, то есть
при некоторых β
2
, β
3
, . . . , β
m
, имеет место равенство
x
1
= β
2
x
2
+β
3
x
3
+ ··· + β
m
x
m
,
тогда
−
x
1
+β
2
x
2
+β
3
x
3
+ ··· + β
m
x
m
= Θ,
то есть векторы
x
1
,
x
2
, . . . ,
x
m
линейно зависимы.
J
Систему векторов
e
1
,
e
2
, . . . ,
e
n
называют базисом линейного простран-
ства R
n
, если они линейно независимы и любой вектор
x
= (x
1
; x
2
; . . . ; x
n
)
пространства R
n
может быть записан в виде
x
= x
1
e
1
+x
2
e
2
+ ··· + x
n
e
n
.
Последнее равенство называют разложением вектора
x
по базису
e
1
,
e
2
, . . . ,
e
n
.
12.5. Упражнения
Задание 12.1. Выясните, какие из треугольников с вершинами в точках A, B,
C являются остроугольными, прямоугольными, тупоугольными?
a) на плоскости
1) A(−2; 3), B(−1; −2), (2; −3),
2) A(−3; 0), B(0; 3), (2; 0),
3) A(−3; 3), B(−3; −3), (6; −3),
4) A(−3; −3), B(0; 3), (6; −3),
5) A(0; 7), B(6; 4), (6; −2),
6) A(−5; 0), B(4; 2), (6; −4),
7) A(−5; 4), B(−4; 0), (5; 4),
b) в пространстве
8) A(−2; 3; 3), B(−1; −2; 3), (2; −3; 3),
9) A(2; 2; −3), B(−1; 2; 2), (3; 2; −7),
55
  2. Пусть теперь вектор x1 есть линейная комбинация m − 1 векторов, то есть
при некоторых β2 , β3 , . . . , βm , имеет место равенство

                          x1 = β2 x2 +β3 x3 + · · · + βm xm ,

тогда
                       − x1 +β2 x2 +β3 x3 + · · · + βm xm = Θ,
то есть векторы x1 , x2 , . . . , xm линейно зависимы.
   �
  Систему векторов e1 , e2 , . . . , en называют базисом линейного простран-
ства Rn , если они линейно независимы и любой вектор x = (x1 ; x2 ; . . . ; xn )
пространства Rn может быть записан в виде

                           x = x1 e1 +x2 e2 + · · · + xn en .

Последнее равенство называют разложением вектора x по базису e1 , e2 , . . . , en .



   12.5. Упражнения

  Задание 12.1. Выясните, какие из треугольников с вершинами в точках A, B,
C являются остроугольными, прямоугольными, тупоугольными?
   a) на плоскости

                       1) A(−2; 3),      B(−1; −2), (2; −3),
                       2) A(−3; 0),      B(0; 3),        (2; 0),
                       3) A(−3; 3),      B(−3; −3), (6; −3),
                       4) A(−3; −3), B(0; 3),            (6; −3),
                       5) A(0; 7),       B(6; 4),        (6; −2),
                       6) A(−5; 0),      B(4; 2),        (6; −4),
                       7) A(−5; 4),      B(−4; 0),       (5; 4),

   b) в пространстве

                   8) A(−2; 3; 3), B(−1; −2; 3), (2; −3; 3),
                   9) A(2; 2; −3), B(−1; 2; 2),          (3; 2; −7),



                                          55

Страницы