Математика. Часть 3. Карелина И.Г. - 53 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

Тогда
|
x
| =
q
x
2
1
+ x
2
2
+ ··· + x
2
n
.
Из определения скалярного произведения следует, что
cos ∠(
x
,
y
) =
(
x
,
y
)
|
x
||
y
|
=
x
1
y
1
+ x
2
y
2
+ ··· + x
n
y
n
p
x
2
1
+ x
2
2
+ ··· + x
2
n
p
y
2
1
+ y
2
2
+ ··· + y
2
n
.
Найдем косинусы углов, которые образует вектор
x
с осями координат, напри-
мер, с осью Ox
k
, для этого воспользуемся скалярным произведением векторов
x
и
e
k
cos ∠(
x
,
e
k
) =
(
x
,
e
k
)
|
x
||
e
k
|
=
x
k
p
x
2
1
+ x
2
2
+ ··· + x
2
n
.
Косинусы углов, которые образует вектор
x
с осями координат, называют на-
правляющими косинусами вектора
x
.
12.4. Линейные пространства
Знакомство с понятием вектора на плоскости и в пространстве происходит
уже в школьном курсе математики. Как на плоскости, так и в пространстве, век-
тор, помимо его длины и направления, может характеризоваться своими коорди-
натами. Свойства и отношения, характерные для векторов, используются также
для описания многих понятий в окружающей нас действительности.
Говорят, что на множестве A определены операции сложения и умножения на
число, если для любых двух элементов
x
,
y
множества A их сумма
x
+
y
также
принадлежит множеству A и в результате умножения произвольного элемента
x
множества A на действительное число k получается элемент k
x
, принадлежа-
щий множеству A.
Линейным пространством называется множество A, удовлетворяющее
следующим условиям:
1.
x
+
y
=
y
+
x
(коммутативность);
2. (
x
+
y
) +
z
=
x
+(
y
+
z
) (ассоциативность);
3. Существует нулевой элемент Θ ∈ A такой, что для любого элемента
x
∈ A
выполняется равенство
x
+Θ =
x
;
4. Для любого элемента
x
∈ A существует ему противоположный элемент
(−
x
) ∈ A такой, что
x
+(−
x
) = Θ;
5. Для любого элемента
x
∈ A
1 ·
x
=
x
, (−1) ·
x
= −
x
, 0 ·
x
= Ø, kΘ = Θ;
6. Для любых действительных чисел k, l = const и элементов данного множе-
ства
x
,
y
∈ A имеют место равенства
k(
x
+
y
) = k
x
+k
y
, (k + l)
x
= k
x
+l
x
, k(l
x
) = (kl)
x
.
53
Тогда                                �
                             |x| =       x21 + x22 + · · · + x2n .

  Из определения скалярного произведения следует, что
                         (x, y)            x1 y1 + x 2 y2 + · · · + x n yn
        cos ∠(x, y) =              =� 2                    �                      .
                        | x || y |   x1 + x2 + · · · + xn y12 + y22 + · · · + yn2
                                           2             2


Найдем косинусы углов, которые образует вектор x с осями координат, напри-
мер, с осью Oxk , для этого воспользуемся скалярным произведением векторов
x и ek
                                 (x, ek )            xk
                cos ∠(x, ek ) =             =� 2                     .
                                | x || ek |   x1 + x22 + · · · + x2n

  Косинусы углов, которые образует вектор x с осями координат, называют на-
правляющими косинусами вектора x.

  12.4. Линейные пространства

   Знакомство с понятием вектора на плоскости и в пространстве происходит
уже в школьном курсе математики. Как на плоскости, так и в пространстве, век-
тор, помимо его длины и направления, может характеризоваться своими коорди-
натами. Свойства и отношения, характерные для векторов, используются также
для описания многих понятий в окружающей нас действительности.
   Говорят, что на множестве A определены операции сложения и умножения на
число, если для любых двух элементов x, y множества A их сумма x + y также
принадлежит множеству A и в результате умножения произвольного элемента x
множества A на действительное число k получается элемент k x, принадлежа-
щий множеству A.
   Линейным пространством называется множество A, удовлетворяющее
следующим условиям:
   1. x + y = y + x (коммутативность);
   2. (x + y) + z = x +(y + z) (ассоциативность);
   3. Существует нулевой элемент Θ ∈ A такой, что для любого элемента x ∈ A
выполняется равенство x +Θ = x;
   4. Для любого элемента x ∈ A существует ему противоположный элемент
(− x) ∈ A такой, что x +(− x) = Θ;
   5. Для любого элемента x ∈ A
   1 · x = x, (−1) · x = − x, 0 · x = Ø, kΘ = Θ;
   6. Для любых действительных чисел k, l = const и элементов данного множе-
ства x, y ∈ A имеют место равенства
   k(x + y) = k x +k y, (k + l) x = k x +l x, k(l x) = (kl) x .


                                              53

Страницы