Математика. Часть 3. Карелина И.Г. - 51 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

4. Скалярное произведение вектора
x
на себя равно квадрату его дли-
ны.
Так как вектор
x
сонаправлен сам себе, то cos ∠(
x
,
x
) = 1, поэтому
(
x
,
x
) = |
x
||
x
|cos ∠(
x
,
x
) = |
x
|
2
.
5. Скалярное произведение векторов удовлетворяет распределитель-
ному закону
(
x
+
y
,
z
) = (
x
,
z
) + (
y
,
z
).
Как отмечалось выше, если вектор
x
= (x
1
; x
2
; . . . ; x
n
) задан своими коорди-
натами, а векторы
e
1
,
e
2
, . . . ,
e
n
образуют базис в пространстве R
n
, то он может
быть разложен по базису следующим образом
x
= x
1
e
1
+x
2
e
2
+ ··· + x
n
e
n
.
Разложим по базису
e
1
,
e
2
, . . . ,
e
n
вектор
y
= (y
1
; y
2
; . . . ; y
n
)
y
= y
1
e
1
+y
2
e
2
+ ··· + y
n
e
n
.
Систему векторов
x
1
,
x
2
, . . . ,
x
k
, называют ортогональной, если все они
отличны от нулевого вектора и их всевозможные попарные скалярные произве-
дения равны 0
(
x
l
,
x
m
) = 0, если l 6= m.
Теорема. Если векторы
x
1
,
x
2
, . . . ,
x
k
, образуют ортогональную систему, то
они линейно независимы.
Доказательство.
В предположении противного система векторов
x
1
,
x
2
, . . . ,
x
k
линейно зави-
сима, поэтому имеет место равенство
α
1
x
1
+α
2
x
2
+ ··· + α
k−1
x
k−1
+α
k
x
k
= Θ,
где среди чисел α
1
, α
2
, . . . , α
k−1
, α
k
есть отличные от нуля.
Умножим последнее равенство последовательно скалярно на векторы
x
1
,
x
2
,
. . . ,
x
k−1
,
x
k
, получим набор равенств
α
1
(
x
1
,
x
1
) + α
2
(
x
2
,
x
1
) + ··· + α
k−1
(
x
k−1
,
x
1
) + α
k
(
x
k
,
x
1
) = Θ,
α
1
(
x
1
,
x
2
) + α
2
(
x
2
,
x
2
) + ··· + α
k−1
(
x
k−1
,
x
2
) + α
k
(
x
k
,
x
2
) = Θ,
. . .
α
1
(
x
1
,
x
k−1
) + α
2
(
x
2
,
x
k−1
) + ··· + α
k−1
(
x
k−1
,
x
k−1
) + α
k
(
x
k
,
x
k−1
) = Θ,
α
1
(
x
1
,
x
k
) + α
2
(
x
2
,
x
k
) + ··· + α
k−1
(
x
k−1
,
x
k
) + α
k
(
x
k
,
x
k
) = Θ
51
  4. Скалярное произведение вектора x на себя равно квадрату его дли-
     ны.
     Так как вектор x сонаправлен сам себе, то cos ∠(x, x) = 1, поэтому
                             (x, x) = | x || x | cos ∠(x, x) = | x |2 .

  5. Скалярное произведение векторов удовлетворяет распределитель-
     ному закону
                        (x + y, z) = (x, z) + (y, z).


   Как отмечалось выше, если вектор x = (x1 ; x2 ; . . . ; xn ) задан своими коорди-
натами, а векторы e1 , e2 , . . . , en образуют базис в пространстве Rn , то он может
быть разложен по базису следующим образом
                              x = x1 e1 +x2 e2 + · · · + xn en .
Разложим по базису e1 , e2 , . . . , en вектор y = (y1 ; y2 ; . . . ; yn )
                              y = y1 e1 +y2 e2 + · · · + yn en .
   Систему векторов x1 , x2 , . . . , xk , называют ортогональной, если все они
отличны от нулевого вектора и их всевозможные попарные скалярные произве-
дения равны 0
                          (xl , xm ) = 0, если l �= m.

  Теорема. Если векторы x1 , x2 , . . . , xk , образуют ортогональную систему, то
они линейно независимы.
  � Доказательство.
  В предположении противного система векторов x1 , x2 , . . . , xk линейно зави-
сима, поэтому имеет место равенство
                      α1 x1 +α2 x2 + · · · + αk−1 xk−1 +αk xk = Θ,
где среди чисел α1 , α2 , . . . , αk−1 , αk есть отличные от нуля.
     Умножим последнее равенство последовательно скалярно на векторы x1 , x2 ,
. . . , xk−1 , xk , получим набор равенств
    α1 (x1 , x1 ) + α2 (x2 , x1 ) + · · · + αk−1 (xk−1 , x1 ) + αk (xk , x1 ) = Θ,
    α1 (x1 , x2 ) + α2 (x2 , x2 ) + · · · + αk−1 (xk−1 , x2 ) + αk (xk , x2 ) = Θ,
    ...
    α1 (x1 , xk−1 ) + α2 (x2 , xk−1 ) + · · · + αk−1 (xk−1 , xk−1 ) + αk (xk , xk−1 ) = Θ,
    α1 (x1 , xk ) + α2 (x2 , xk ) + · · · + αk−1 (xk−1 , xk ) + αk (xk , xk ) = Θ

                                               51

Страницы